Tübitak Lise Takım Seçme 2011 Soru 7

[Lokman Gökçe]

$K$, dar açılı bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir nokta ve $ARBPCQ$, köşeleri $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ nın üstünde bulunan dışbükey bir altıgen olsun. $K$ den geçen ve $\Gamma $ ya $A$ da teğet olan çemberin $AP$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $A_{1}$, $K$ den geçen ve $\Gamma $ ya $B$ de teğet olan çemberin $BQ$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $B_{1}$, $K$ den geçen ve $\Gamma $ ya $C$ de teğet olan çemberin $CR$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $C_{1}$ ise, $$\min \left \lbrace \dfrac{|PA_{1}|}{|AA_{1}|},\dfrac{|QB_{1}|}{|BB_{1}|},\dfrac{|RC_{1}|}{|CC_{1}|}\right \rbrace \le 1$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)