Tübitak Lise Takım Seçme 2011 Soru 5

[Lokman Gökçe]

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge 3$ koşulunu sağlayan tüm pozitif $a,b,c$ gerçel sayıları için, $$\dfrac{(a+1)(b+2)}{(b+1)(b+5)}+\dfrac{(b+1)(c+2)}{(c+1)(c+5)}+\dfrac{(c+1)(a+2)}{(a+1)(a+5)}\ge \dfrac{3}{2}$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

$(b+1)(b+5) \le \dfrac{4}{3} (b+2)^2$ olduğunu ifadeyi açarak kolayca görebiliriz. O halde bizim;
$$\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(b+2)}+\dfrac{(b+1)^2}{(b+1)(c+2)}+\dfrac{(c+1)^2}{(c+1)(a+2)} \ge 2$$
göstermemiz yeterli olacaktır. Faydalı Eşitsizlikten dolayı;
$$\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(b+2)}+\dfrac{(b+1)^2}{(b+1)(c+2)}+\dfrac{(c+1)^2}{(c+1)(a+2)} \ge \dfrac{(a+b+c+3)^2}{ab+bc+ca+3(a+b+c)+6}$$
idir. Bundan sonra bizim;
$$(a+b+c+3)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+9 \ge 2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+12$$
göstermemiz yeterlidir. Bu da $a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge 3$ olduğundan doğrudur. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Türkiye TST 2011 #5