Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 06

[Metin Can Aydemir]

$a>b$ ve $\text{okek}(a,b)-\text{obeb}(a,b)=28$ koşullarını sağlayan kaç farklı $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 13$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$\text{obeb}(a,b)=d$ olsun. O halde $\text{obeb}(x,y)=1$ ve $a=dx$, $b=dy$ olacak şekilde $x>y$ pozitif tamsayıları vardır. Ayrıca $\text{okek}(a,b)=dxy$ olacaktır. Yerine yazarsak, $$dxy-d=d(xy-1)=28$$ elde edilir. $(d,xy-1)=(1,28),(2,14),(4,7),(7,4),(14,2),(28,1)$ olabilir.

$d=1$ ise $xy=29$ bulunur. Buradan $(x,y)=(29,1)$ ve $(a,b)=(29,1)$ elde edilir.

$d=2$ ise $xy=15$ bulunur. Buradan $(x,y)=(15,1)$ veya $(x,y)=(5,3)$ bulunur. Dolayısıyla $(a,b)=(30,2)$ ve $(a,b)=(10,6)$ çözümleri elde edilir.

$d=4$ ise $xy=8$ bulunur. Buradan $(x,y)=(8,1)$ ve $(a,b)=(32,4)$ elde edilir.

$d=7$ ise $xy=5$ bulunur. Buradan $(x,y)=(5,1)$ ve $(a,b)=(35,7)$ elde edilir.

$d=14$ ise $xy=3$ bulunur. Buradan $(x,y)=(3,1)$ ve $(a,b)=(42,14)$ elde edilir.

$d=28$ ise $xy=2$ bulunur. Buradan $(x,y)=(2,1)$ ve $(a,b)=(56,28)$ elde edilir.

Toplam $\boxed{7}$ çözüm vardır.