Tübitak Lise Takım Seçme 2013 Soru 7

[Lokman Gökçe]

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde köşegenlerin kesişim noktası $E$ olmak üzere, $m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{DEC})=m(\widehat{BAD})$ koşulu sağlanıyor. $[BC]$ kenarı üstündeki bir $F$ noktası için, $m(\widehat{BAF}) + m(\widehat{EBF})=m(\widehat{BFE})$ ise, $A$, $B$, $F$, $D$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[geo]

$(ABD)$ çemberi $BC$ yi $G$ de kessin. $\angle BAD = \angle DGC = \angle CED$ olduğu için $E,G,C,D$ çemberseldir. Bu durumda $$BE\cdot BD = BG \cdot BC \tag{1}$$ olacaktır. $\angle BAD = \angle AEB$ olduğu için $$BE\cdot BD = AB^2 \tag{2}$$ dir. $(1)$ ile $(2)$ yi birleştirirsek $$ BG \cdot BC = AB^2 \tag{3}$$ elde edilir. Bu da $$\angle BAF = \angle BCA \tag{4}$$ ile eşdeğerdir. $\angle BAD = \angle BDC$ olduğu için $CD$ doğrusu $(ABD)$ çemberine teğettir. Dolayısıyla, $$\angle CBD = \angle GDC \tag{5}$$ Bu durumda $EGCD$ kirişler dörtgeninde $\angle GEC = \angle GDC = \angle CBD$ olacaktır. Bunu $(4)$ ile birleştirirsek $$\angle EGB = \angle GEC + \angle BCA = \angle EBF + \angle BAF = \angle EFB \tag{6}$$ elde ederiz. Bu da $F=G$ anlamına gelir. Yani $A,B,F,D$ noktaları çemberseldir.