Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 17

[Egemen]

$16^{2011}$ sayısının on tabanına göre yazılımında onlar basamağındaki rakam aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 1\ $

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

$16^{2011}=2^{8044}$ sayısına$\pmod{100}$'de bakacağız. Yani$\pmod4$ ve$\pmod{25}$'te ayrı ayrı bakmamız gerekir.
$2^{8044}\equiv0\pmod4$'tür.
$\phi(25)=20$ olduğundan $2^{20}\equiv1\pmod{25}$'tir. (Bkz. Euler Fonksiyonu)
$8044\equiv4\pmod{20}$ olduğundan $2^{8044}\equiv2^{4}\equiv16\pmod{25}$'tir.

$16^{2011}$ sayısının $\pmod{100}$'deki değerini bulmak için $\pmod4$'te $0$ ve $\pmod{25}$'te $16$ kalanı veren sayıyı bulmalıyız, ki bu sayının $16$ olduğu açıktır.
Yani $16^{2011}\equiv16\pmod{100}$'dür. Dolayısıyla onlar basamağındaki rakam $1$'dir.