Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2021 Soru 5

[Eray]

Tüylü ve Zıplak isimli iki sincap kış için $2021$ tane ceviz toplamıştır. Zıplak, cevizleri $1$ den $2021$ e kadar olan sayılarla numaralandırıyor ve en sevdikleri ağacın etrafında çembersel bir düzende $2021$ tane küçük delik açıyor. Ertesi sabah Zıplak, Tüylü’nün her deliğe bir ceviz yerleştirdiğini, fakat yerleştirirken cevizlerin numaralarına hiç dikkat etmediğini fark ediyor. Bundan mutsuz olan Zıplak, $2021$ hamleden oluşan bir hamleler dizisi uygulayarak cevizlerin yerlerini değiştirmeye karar veriyor. $k$ ıncı hamlede Zıplak, $k$ numaralı cevizin iki komşusunun yerlerini birbirleriyle değiştiriyor. Öyle bir $k$ sayısının var olduğunu gösteriniz ki; Zıplak, $k$ ıncı hamlede $a < k < b$ koşuluna uyan $a$ ve $b$ numaralı cevizlerin yerlerini değiştirmiş olsun.