Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2018 Soru 1

[Arman]

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n$'nin pozitif bölenlerinin sayısını $s(n)$ ile gösterelim.

                                      $k = s(a) = s(b) = s(2a + 3b)$

olacak şekilde $a$ ve $b$ pozitif tam sayılarının bulunmasını sağlayan tüm $k$ pozitif tam
sayılarını bulunuz.

[Arman]

$k=2m$ için $a=2.7^{m-1}$ ve $b=3.7^{m-1}$ sayıları istenilen durumu sağlar.


$k=2m-1$ olursa $a$,$b$,$(2a+3b)$ sayılarının tek sayıda böleni olduğu için üçü de tam kare olmak zorunda olur.


$a=x^2$  ,  $b=y^2$  ,  $2a+3b=z^2$


$2x^2+3y^2=z^2$

$2x^2+3y^2 \equiv z^2 \pmod{3} \Longrightarrow 2x^2\equiv z^2 \pmod{3} $

$\Longrightarrow 2x^2\equiv 0 \pmod{3} \Longrightarrow x=3x_1$

$18x_1^2+3y^2 = z^2 \Longrightarrow z^2\equiv 0 \pmod{3}$

$\Longrightarrow z=3z_1 \Longrightarrow 18x_1^2+3y^2 =9z_1^2 $

$\Longrightarrow 3y^2\equiv 0 \pmod{9} \Longrightarrow y=3y_1$

$18x_1^2+27y_2^2 = 9z_1^2\Longrightarrow 2x_1^2+3y_1^2 = z_1^2 $

Yine aynı denklemi elde ettiğimizden bu işlemi sonsuz defa yapabiliriz bundan dolayı denklemin çözümü yoktur.


Sonuç olarak istenilen koşulu sadece pozitif çift  $k$  sayıları sağlar.