Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 32

[geo]

$S = \dfrac 1{1^2} + \dfrac 1{2^2} + \dfrac 1{3^2} + \cdots + \dfrac 1{2001^2} + \dfrac 1{2002^2}$ ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$
\textbf{a)}\ 1\leq S < \dfrac 43
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 43 \leq S < 2
\qquad\textbf{c)}\ 2 \leq S < \dfrac 73
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 73 \leq S < \dfrac 52
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac 52 \leq S < 3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Serinin ilk üç teriminin toplamı $1 + \dfrac 14 + \dfrac 19 = 1 + \dfrac{13}{36} > 1 + \dfrac {13}{39} = \dfrac 43$ olduğu için $a$ şıkkı eleniyor.

$\dfrac {1}{n^2} < \dfrac {1}{n^2 - 1} = \dfrac 12 \cdot \left (\dfrac 1{n-1} - \dfrac {1}{n+1} \right )$ eşitsizliğini uygularsak

$\begin{array}{rcl}
S &=& \dfrac 1{1^2} + \dfrac 1{2^2} + \dfrac 1{3^2} + \cdots + \dfrac 1{2001^2} + \dfrac 1{2002^2} \\
&\leq& 1 + \dfrac 12 \cdot \left ( 1 - \dfrac 13 + \dfrac 12 - \dfrac 14 + \dfrac 13 - \dfrac 15 + \cdots + \dfrac{1}{2000} - \dfrac{1}{2002} + \dfrac{1}{2001} - \dfrac{1}{2003} \right ) \\
&\leq& 1 + \dfrac 12 \cdot \left ( 1  + \dfrac 12 -  \dfrac{1}{2002} - \dfrac{1}{2003} \right ) \\
&\leq& 1 + \dfrac 12 \cdot \left ( 1  + \dfrac 12\right ) \\
&\leq& \dfrac 74 \\
&<& 2.
\end{array}$