Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2022 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Bir $ABCDE$ dışbükey beşgeninde $|BC|=|DE|$ dir. $ABCDE$ beşgeninin iç bölgesinde bulunan bir $T$ noktasının $|TB|=|TD|,\ |TC|=|TE|$ ve $\angle{ABT}=\angle{TEA}$ olacak şekilde alındığını varsayalım. $AB$ doğrusunun $CD$ ve $CT$ doğrularıyla kesiştiği noktalar sırasıyla $P$ ve $Q$ olsun. $P,B,A,Q$ noktaları bulundukları doğru üzerinde bu sırayla yer alsın. $AE$ doğrusunun $CD$ ve $DT$ doğrularıyla kesiştiği noktalar sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $R,E,A,S$ noktaları bulundukları doğru üzerinde bu sırayla yer alsın. $P,S,Q,R$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

[matematikolimpiyati]

$m(\widehat{ABT})=m(\widehat{AET})=\alpha\ ,\ m(\widehat{BTC})=m(\widehat{ETD})=\beta\ ,\ DT \cap AB =X$  ve  $CT \cap AE=Y$ olsun.

Açı özelliklerinden $m(\widehat{YQX})=m(\widehat{YSX})=\beta -\alpha$ olduğu için $Y,Q,S,X$ çemberseldir. $\implies m(\widehat{QSY})=m(\widehat{QXY})= \theta$ diyelim.
Yine aynı çemberden $m(\widehat{BXT})=m(\widehat{SXQ})=m(\widehat{SYQ})=m(\widehat{EYT})$ olduğundan dolayı $\triangle{BXT} \sim \triangle{EYT} \implies \dfrac{TX}{TB}=\dfrac{TY}{TE} \implies \dfrac{TX}{TD}=\dfrac{TY}{TC}$ elde ederiz.
Bu da bize $XY // CD$ olduğunu gösterir. Böylece $m(\widehat{QPR})=m(\widehat{QXY})=m(\widehat{QSR})=\theta$ olur ki buradan da $Q,S,P,R$ noktalarının çembersel olduğu sonucuna varırız.