Gönderen Konu: Özel Bir Eşitsizlik  (Okunma sayısı 75 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Özel Bir Eşitsizlik
« : Kasım 22, 2021, 10:44:19 ös »
Her $x_1 > x_2 >0 $ koşulunu sağlayan $x_1$ ve $x_2$ reel sayıları için
 $$ (\dfrac{x_1x_2+x_2}{x_1x_2+x_1})^{x_2} > (\dfrac{x_1}{x_1+1})^{x_1-x_2}$$
eşitsizliğinin doğru olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Kasım 22, 2021, 11:50:30 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Ynt: Özel Bir Eşitsizlik
« Yanıtla #1 : Kasım 23, 2021, 02:37:16 öö »
Değişkenler pozitif olduğu için $$\left (\dfrac{x_2(x_1+1)}{x_1(x_2+1)}\right )^{x_2}>\left (\dfrac{x_1}{x_1+1}\right )^{x_1-x_2} \Longleftrightarrow \left (\dfrac{x_2(x_1+1)}{x_1(x_2+1)}\right )^{x_2}\left (\dfrac{x_1}{x_1+1}\right )^{x_2}>\left (\dfrac{x_1}{x_1+1}\right )^{x_1}$$ $$\Longleftrightarrow \left (\dfrac{x_2}{x_2+1}\right )^{x_2}>\left (\dfrac{x_1}{x_1+1}\right )^{x_1}$$ Yani $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\left (\dfrac{x}{x+1}\right )^{x}$ fonksiyonunun artan olduğunu göstermeliyiz. Bunun için de $x>0$ için $f'(x)>0$ olduğunu göstermek yeterlidir. $$f'(x)=\left [\ln{\left (\dfrac{x}{x+1}\right)}+\dfrac{1}{x+1}\right]\left (\dfrac{x}{x+1}\right )^{x}$$ olduğundan $$\ln{\left (\dfrac{x}{x+1}\right)}+\dfrac{1}{x+1}>0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{x+1}>\ln{\left (\dfrac{x+1}{x}\right)}$$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. $g:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\dfrac{1}{x+1}-\ln{\left (\dfrac{x+1}{x}\right)}$ fonksiyonu tanımlayalım ve $g(x)>0$ olduğunu gösterelim. $$g'(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}-\dfrac{1}{x(x+1)}<0$$ olduğundan $g(x)$ azalandır. Yani her $x>0$ için $\lim\limits_{n\to \infty} g(n)<g(x)$ olacaktır. $$\lim_{n\to \infty} g(n)=\lim_{n\to \infty}\left (\dfrac{1}{n+1}-\ln{\left (1+\dfrac{1}{n}\right)}\right )=0$$ olduğundan $g(x)>0$'dır. Yani istenilen durumu ispatlamış oluruz.

Böylece ana eşitsizlik ispatlanmış olur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal