Değişkenler pozitif olduğu için $$\left (\dfrac{x_2(x_1+1)}{x_1(x_2+1)}\right )^{x_2}>\left (\dfrac{x_1}{x_1+1}\right )^{x_1-x_2} \Longleftrightarrow \left (\dfrac{x_2(x_1+1)}{x_1(x_2+1)}\right )^{x_2}\left (\dfrac{x_1}{x_1+1}\right )^{x_2}>\left (\dfrac{x_1}{x_1+1}\right )^{x_1}$$ $$\Longleftrightarrow \left (\dfrac{x_2}{x_2+1}\right )^{x_2}>\left (\dfrac{x_1}{x_1+1}\right )^{x_1}$$ Yani $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\left (\dfrac{x}{x+1}\right )^{x}$ fonksiyonunun artan olduğunu göstermeliyiz. Bunun için de $x>0$ için $f'(x)>0$ olduğunu göstermek yeterlidir. $$f'(x)=\left [\ln{\left (\dfrac{x}{x+1}\right)}+\dfrac{1}{x+1}\right]\left (\dfrac{x}{x+1}\right )^{x}$$ olduğundan $$\ln{\left (\dfrac{x}{x+1}\right)}+\dfrac{1}{x+1}>0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{x+1}>\ln{\left (\dfrac{x+1}{x}\right)}$$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. $g:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\dfrac{1}{x+1}-\ln{\left (\dfrac{x+1}{x}\right)}$ fonksiyonu tanımlayalım ve $g(x)>0$ olduğunu gösterelim. $$g'(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}-\dfrac{1}{x(x+1)}<0$$ olduğundan $g(x)$ azalandır. Yani her $x>0$ için $\lim\limits_{n\to \infty} g(n)<g(x)$ olacaktır. $$\lim_{n\to \infty} g(n)=\lim_{n\to \infty}\left (\dfrac{1}{n+1}-\ln{\left (1+\dfrac{1}{n}\right)}\right )=0$$ olduğundan $g(x)>0$'dır. Yani istenilen durumu ispatlamış oluruz.
Böylece ana eşitsizlik ispatlanmış olur.
