Gönderen Konu: Putnam 2001 Polinom Denklem {çözüldü}  (Okunma sayısı 158 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Putnam 2001 Polinom Denklem {çözüldü}
« : Ekim 23, 2021, 08:05:22 ös »
Soru: Her $m$ tam sayısı için $ P_m(x)=x^4-(2m+4)x^2+(m-2)^2 $ polinomunu göz önüne alalım. $m$'nin hangi değerleri için $P_m(x)$, sabit olmayan iki tam sayı katsayılı polinomun çarpımı şeklinde yazılabilir?

(Kaynak: Putnam 2001)
« Son Düzenleme: Kasım 02, 2021, 12:56:01 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı muuurat

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 53
  • Karma: +2/-0
Ynt: Putnam 2001 Polinom Denklem
« Yanıtla #1 : Ekim 26, 2021, 03:55:17 ös »
$x^2 = m+2-2\sqrt {2m}$ olduğundan $2m$ tam kare olmalı. Yani ilk çözüm $m=2n^2$ biçimindedir. Ayrıca $x^2 = (\sqrt {m}\mp\sqrt {2})^2$ olduğundan kökler toplamının tam sayı olması için $m=n^2$ biçiminde olması gerekir. ( $n$ bir tam sayı.)
« Son Düzenleme: Kasım 02, 2021, 12:54:34 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Putnam 2001 Polinom Denklem {çözüldü}
« Yanıtla #2 : Kasım 02, 2021, 02:09:34 ös »
Üstteki çözümü biraz daha detaylandırarak yazmıştım, paylaşalım:


$ P_m(x)=x^4-(2m+4)x^2+(m-2)^2  = (x^2 - (m+2))^2 - 8m$ olarak yazalım.

$ P_m(x)$'in birinci dereceden bir çarpanı varsa bu çarpandan (rasyonel kök teoremi gereğince) bir tam sayı kök elde edilecektir. O halde bir $x$ tam sayı kökü için $(x^2 - (m+2))^2 = 8m$ olur ve buradan $m=2n^2$ ($n\geq 0$ bir tam sayı) olması gerektiğini anlarız. Bu durumda $P_m(x) = (x^2 - (2n^2+2))^2 - 16n^2 = (x^2 - 2n^2 - 4n - 2)(x^2 - 2n^2 + 4n - 2) = (x^2 - 2(n+1)^2)(x^2 - 2(n-1)^2) $ olur. Bir $x$ tam sayı kökü için $x^2 = 2(n-1)^2$ olacağından $x=0$ ve $n=1$, $m=2$ elde edilir. $P_2(x) = x^2 (x^2 - 8 )$ şeklinde çarpanlara ayrılır.

$P_m(x)$'in birinci dereceden çarpanı yoksa, her ikisi de ikinci dereceden olan iki çarpana sahip olmalıdır.
$$ P_m(x) = (x^2 - (m+2))^2 - 8m = (x^2 - (m+2) - 2\sqrt{2m})(x^2 - (m+2) + 2\sqrt{2m})$$
yazılırsa $m+2 \mp 2\sqrt{2m} = (\sqrt{m} \mp \sqrt{2})^2$ olduğundan bu denklemin kökleri $\mp (\sqrt{m} \mp \sqrt{2})$ dir. Katsayılar tam sayı olacak biçimde kökleri ikişerli olarak eşleştirerek ikinci dereceden çarpanları oluşturalım:

$(x + (\sqrt{m} + \sqrt{2}))(x - (\sqrt{m} + \sqrt{2})) = x^2 -(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 =  x^2 - (m+2 + 2\sqrt{2m})$ ve
$(x + (\sqrt{m} - \sqrt{2}))(x - (\sqrt{m} - \sqrt{2})) = x^2 -(\sqrt{m} - \sqrt{2})^2 = x^2 - (m+2 - 2\sqrt{2m})$
olur. Bu çarpanların tam sayı katsayı içermesi için $m=2n^2$ ($n\geq 0$ bir tam sayı) olmalıdır. (Birinci dereceden çarpan içerme durumunda bunu görmüştük. Yani yukarıdaki durum incelemesi atlanabilir.)

Şimdi de $(x + (\sqrt{m} + \sqrt{2}))(x + (\sqrt{m} - \sqrt{2})) = x^2 + 2\sqrt{m}x + (m - 2) $ ve
$(x - (\sqrt{m} + \sqrt{2}))(x - (\sqrt{m} - \sqrt{2})) = x^2 - 2\sqrt{m}x + (m - 2) $
olur. Bu çarpanların tam sayı katsayı içermesi için $m=n^2$ ($n\geq 0$ bir tam sayı) olmalıdır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal