Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 23

[Metin Can Aydemir]

$f(x)=x^2(x-1)(x-3)$ olmak üzere, $$\sum_{n=1}^{12}f\left (x_n\right )=-4$$ denklemini sağlayan $\left(x_1,x_2,\dots,x_{12}\right)$ tam sayı $12$-lilerinin sayısının $11$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

[DrLucky]

Cevap: $\boxed{B}$

İstenen toplam $S$ olsun

Polinomun alabileceği minimum pozitif değer $x=-1$ için $8$'dir. Toplamın $-4$ gelmesi için $k$ tane $8$, $2k+1$ tane $-4$ ve $11-3k$ tane $0$ olmalıdır.

Bu durumda $k$, $2k+1$ ve $11-3k$'nın alabileceği değerler $(0,1,11)$ $(1,3,8)$ $(2,5,5)$ $(3,7,2)$ dir.

1.durum için $\dbinom{12}{1}\cdot\dbinom{11}{3}\cdot 3^8\equiv0\pmod{11}$
2.durum için $\dbinom{12}{2}\cdot\dbinom{10}{5}\cdot 3^5\equiv0\pmod{11}$
3.durum için $\dbinom{12}{3}\cdot\dbinom{9}{7}\cdot 3^2\equiv0\pmod{11}$
4.durum için $\dbinom{12}{1}\cdot\ 3^{11}\equiv3\pmod{11}$

Taraf tarafa toplarsak $S\equiv3\pmod{11}$

[Metin Can Aydemir]

Çözümde ufak bir eksiklik olmuş sanırım. İstenen toplam $S$ olsun

Polinomun alabileceği minimum pozitif değer $x=-1$ için $8$'dir. Toplamın $-4$ gelmesi için $k$ tane $8$, $2k+1$ tane $-4$ ve $11-3k$ tane $0$ olmalıdır.

Bu durumda $k$, $2k+1$ ve $11-3k$'nın alabileceği değerler $(0,1,11)$ $(1,3,8)$ $(2,5,5)$ $(3,7,2)$ dir.

1.durum için $\dbinom{12}{1}\cdot\dbinom{11}{3}\cdot 3^8\equiv0\pmod{11}$
2.durum için $\dbinom{12}{2}\cdot\dbinom{10}{5}\cdot 3^5\equiv0\pmod{11}$
3.durum için $\dbinom{12}{3}\cdot\dbinom{9}{7}\cdot 3^2\equiv0\pmod{11}$
4.durum için $\dbinom{12}{1}\cdot\ 3^{11}\equiv3\pmod{11}$

Taraf tarafa toplarsak $S\equiv3\pmod{11}$

Haklısınız, negatif olmayan tamsayılar için çözmüşüm ve şans eseri doğru cevap bulmuşum. Sizin çözümünüzde benim yanıtım zaten bulunduğundan ve soruya bakacak kişilerin ilk benim çözümümü görüp yanlış çözüm okumamaları için kendi çözümümü kaldıracağım. Zaten düzelteceğim hali sizinkiyle aynı olacaktı. Düzeltmeniz için teşekkürler.