Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 22

[Metin Can Aydemir]

$n^3-4m^3+3n^2m=20$ denklemini sağlayan kaç farklı $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{B}$

Verilen ifadede $m=n$ alırsak ifade $0$ olacaktır. Yani sol taraf $(n-m)$ ile bölünür. Bölme işlemi yaparsak $(n-m)(2m+n)^2=20$ bulunur. $20$'yi bölen tam kareler sadece $1$ ve $4$'dür.

$(2m+n)^2=1$ için $n-m=20$ bulunur. Ayrıca $2m+n=1$ veya $2m+n=-1$ olabilir. Bu denklemler çözülürse, sadece $(m,n)=(-7,13)$ çözümü bulunur.

$(2m+n)^2=4$ için $n-m=5$ bulunur. $2m+n=2$ veya $2m+n=-2$ olabilir. Bu denklemler çözülürse, sadece $(m,n)=(-1,4)$ çözümü bulunur.

Toplamda $2$ tane çözüm vardır.