Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 13

[Metin Can Aydemir]

Köşeleri $O$ merkezli $\omega$ çemberi üzerinde yer alan bir $ABCD$ karesi veriliyor. $[CD]$ kenarının orta noktasından geçen bir doğru $\omega$ çemberinin küçük $CD$ yayını $K$'de, küçük $AD$ yayını $L$ noktasında kesiyor. $m(\widehat{KOL} )=120^\circ$ ise, $m(\widehat{KDC})$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 20^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 22,5^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 25^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 30^\circ
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$AD$ kenarının orta noktası $F$ olsun. $EF$ doğrusu küçük $CD$ yayını $K'$ noktasında, küçük $AD$ yayını ise $L'$ noktasında kessin. Karenin bir kenarına $2x$ dersek, çemberin yarıçapı $x\sqrt{2}$ ve $|DE|=|EC|=|DF|=|FA|=x$ olur. $K'$ ve $L'$, $OD$'ye göre simetrik olduğundan $|L'F|=|K'E|=y$ diyebiliriz. Çemberde kuvvetten, $|AF||FD|=|L'F||FK'|$ olacaktır. Buradan, $x^2=y(y+x\sqrt{2})$ elde edilir. Bunu, $y$'ye bağlı ikinci dereceden denklem olarak yazıp, diskriminant ile çözümünü bulunursak, $y=\dfrac{x\sqrt{6}-x\sqrt{2}}{2}$ elde edilir. $|L'K'|=x\sqrt{6}$ elde edilir. $OL'K'$ üçgeninin kenarları $x\sqrt{2}-x\sqrt{2}-x\sqrt{6}$ olduğundan $m(\widehat{L'OK'})=120^\circ$ bulunur. Yani $K$ noktası ile $K'$ noktası çakışıktır (Eğer değillerse soru hatalı olacaktır, o yüzden ispatlama gereği duymadım). $m(\widehat{KOC})=30^\circ$ olacağından (simetrik olduğundan $m(\widehat{KOC})=m(\widehat{LOA})$ olmalıdır) $m(\widehat{KDC})=15^\circ$ bulunur.

Not: Soru içerisinde de bahsettiğim gibi aslında klasik bir sınav olsaydı, bu çözüm tam bir çözüm olmazdı çünkü neden $K=K'$ olması gerektiği ispatlanmamış. Test mantığı ile $K$ ve $K'$, sorudaki şartları sağladığı için $K'=K$ olmalıdır çünkü olmasaydı bariz bir şekilde $m(\widehat{KDC})\neq m(\widehat{K'DC})$ olacaktı.

[Squidward]

$CD$'nın orta noktası $E$ ve karenin bir kenarı $2x$ olsun. $O$'dan $CD$'ye inen dikme ayağının $E$ olduğu açıktır. $|OE| = x$ ve $OL$ yarıçap olduğundan $|OL| = x\sqrt{2}$ bulunur. $m(\widehat{LEO})=\alpha$ olsun, $OEL$ üçgeninde sinüs teoreminden $\dfrac{x}{\sin{30^\circ}} = \dfrac{x\sqrt{2}}{\sin{\alpha}}$ dan $\alpha = 45^\circ$ bulunur, $OEL$'de üçgenin iç açıları toplamından $m(\widehat{LOE})=105^\circ$ ve $m(\widehat{KOE})=15^\circ$ bulunur, $m(\widehat{COE})=45^\circ$ olduğundan $m(\widehat{KOC})=30^\circ$ bulunur ve aynı yayı gördüklerinden $m(\widehat{KOC})= 2 m(\widehat{KDC})=30^\circ$ den $m(\widehat{KDC})=15^\circ$ bulunur.