Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 06  (Okunma sayısı 208 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 06
« : Temmuz 09, 2021, 03:12:06 ös »
Kaç tane $n$ pozitif tam sayısı için $n^3$ sayısının rakamları toplamı $4n$ sayısına eşittir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 06
« Yanıtla #1 : Temmuz 09, 2021, 03:28:12 ös »
Cevap: $\boxed{A}$

$n^3=a_1a_2\dots a_k$ diyelim. $m$ sayısının rakamları toplamına $s(m)$ dersek, $s(n^3)=a_1+a_2+\cdots+a_k$'dir. $a_i$ sayıları birer rakam olduğundan $s(n^3)=4n\leq 9k$'dır. Ayrıca $n^3\geq 10^{k-1}$ olduğundan $4n\geq 4\cdot 10^{\frac{k-1}{3}}$ olacaktır. Buradan $$9k\geq 4\cdot 10^{\frac{k-1}{3}}$$ elde edilecektir. İfadenin sağ tarafı üstel fonksiyon, sol tarafı ise polinom olduğundan $k$ arttınca eşitsizlik bozulacaktır ($10^\frac{1}{3}>2$ olduğundan sağ taraf çok hızlı büyüyecektir). Ufak değerleri denerse, $k\geq 4$ için eşitsizliğin sağlanmadığı görülür. Yani en fazla $3$ basamaklı tam küpler denenmelidir. Bunlar ise $1,8,27,64,125,216,343,512,729$'dur. Bunlardan sadece $8$ istenileni sağlar. Yani, şartı sağlayan tek sayı $n=2$'dir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı DrLucky

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 20
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 06
« Yanıtla #2 : Kasım 17, 2021, 08:22:21 ös »
Cevap: $\boxed{A}$
Buradan $$9k\geq 4\cdot 10^{\frac{k-1}{3}}$$ elde edilecektir. İfadenin sağ tarafı üstel fonksiyon, sol tarafı ise polinom olduğundan $k$ arttınca eşitsizlik bozulacaktır ($10^\frac{1}{3}>2$ olduğundan sağ taraf çok hızlı büyüyecektir). Ufak değerleri denerse, $k\geq 4$ için eşitsizliğin sağlanmadığı görülür.
Çözüm için teşekkürler. Bu kısmın doğruluğunu eşitsizliklerle nasıl gösterebiliriz?

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 06
« Yanıtla #3 : Kasım 18, 2021, 12:47:46 ös »
Cevap: $\boxed{A}$
Buradan $$9k\geq 4\cdot 10^{\frac{k-1}{3}}$$ elde edilecektir. İfadenin sağ tarafı üstel fonksiyon, sol tarafı ise polinom olduğundan $k$ arttınca eşitsizlik bozulacaktır ($10^\frac{1}{3}>2$ olduğundan sağ taraf çok hızlı büyüyecektir). Ufak değerleri denerse, $k\geq 4$ için eşitsizliğin sağlanmadığı görülür.
Çözüm için teşekkürler. Bu kısmın doğruluğunu eşitsizliklerle nasıl gösterebiliriz?

Tümevarım ile $n\geq 5$ için $4\cdot 10^{\frac{n-1}{3}}> 2^{n+1}\geq 9n$ olduğu gösterilebilir. $10^{\frac{1}{3}}>2$ olduğundan en soldaki eşitsizlik her zaman doğrudur. Sağ kısımda tümevarım uygulayalım. $n=5$ için $64\geq 45$ olduğundan sağlanır. Varsayalım ki eşitsizlik $n=k\geq 5$ için doğru olsun. O halde $$2^{k+1}-9k\geq 0$$ olacaktır. $$\left (2^{k+2}-9(k+1)\right )-\left (2^{k+1}-9k\right)=2^{k+1}-9>0$$ olur çünkü $k\geq 5$'dir. Dolayısıyla $2^{k+2}-9(k+1)>2^{k+1}-9k\geq 0$ elde edilir. Yani eşitsizlik $n=k+1$ için de doğrudur. Tümevarımdan tüm $n\geq 5$ için doğrudur diyebiliriz. Ayrıca $n=4$ için de $4\cdot 10^{\frac{n-1}{3}}> 9n$ sağlandığından $n\geq 4$ için son eşitsizlik sağlanır diyebiliriz.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal