Lise 2. Aşama 2020 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$x, y, z$ pozitif gerçel saylar olmak üzere,
$$
2 \sqrt{(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}-\sqrt{\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)}
$$
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\overbrace{\leq}^{Cauchy} \left(\sqrt{x+y}\sqrt{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\sqrt{z}\sqrt{\dfrac{1}{x}}\right)^2$$
olduğundan
$$\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}\leq \sqrt{x+y}\sqrt{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\sqrt{z}\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\sqrt{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)}+\sqrt{\dfrac{z}{x}}$$

elde edilir. Bunu problemde yerine koyalım
$$2\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}-\sqrt{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)}$$
$$=\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\sqrt{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)}+\sqrt{\dfrac{z}{x}}-\sqrt{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)}$$
$$=\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\sqrt{\dfrac{z}{x}}$$
Artık bu ifade üzerinde uğraşabiliriz. Yine Cauchy kullanaraktan
$$\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\overbrace{\geq}^{Cauchy} \left(\sqrt{x}\sqrt{\dfrac{1}{z}}+\sqrt{y}\sqrt{\dfrac{1}{y}}+\sqrt{z}\sqrt{\dfrac{1}{x}}\right)^2$$
olduğundan
$$\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}\geq \sqrt{x}\sqrt{\dfrac{1}{z}}+\sqrt{y}\sqrt{\dfrac{1}{y}}+\sqrt{z}\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\sqrt{\dfrac{x}{z}}+\sqrt{\dfrac{z}{z}}+1$$
elde ederiz. Bunu uğraştığımız ifade de yerine koyduğumuz anda
$$\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\sqrt{\dfrac{z}{x}}\geq2\sqrt{\dfrac{z}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{z}}+1\overbrace{\geq}^{AGO} 2\sqrt{2}+1 $$
ispatı bitiririz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Türkiye 2. Aşama 2020 #3