Verilen ifadeyi düzenleyelim, $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=d\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ad+bd+cd$$ $$\Rightarrow (2a-d)^2+(2b-d)^2+(2c-d)^2=3d^2$$ $a,b,c,d$ birbirinden farklı olduğundan $2a-d$, $2b-d$, $2c-d$ ifadeleri de birbirinden farklıdır. Genelliği bozmadan $a>b>c$ olsun. $$a>d=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}>c$$ olduğu kolayca görülebilir. Dolayısıyla $d=1$ veya $d=9$ olamaz.
$i) d=2$ ise $(2a-2)^2+(2b-2)^2+(2c-2)^2=12$ olur, sadeleştirirsek $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=3$ olur fakat buradan $a>b>c$ çözümü gelmez.
$ii) d=3$ ise $(2a-3)^2+(2b-3)^2+(2c-3)^2=27$ olur. $(a,b,c)=(4,2,1)$ şartı sağlar.
$iii)$ $d=4$ ise $(2a-4)^2+(2b-4)^2+(2c-4)^2=48$ olur, sadeleştirirsek $(a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2=12$ olur ama buradan $a>b>c$ çözümü gelmez.
$iv)$ $d=5$ ise $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)$ olacağından $a^2+b^2+c^2\equiv 0 \pmod{5}$ olur. $x^2\equiv 0,1,4\pmod{5}$ olduğundan $a$, $b$, $c$'den en az biri $5$ ile bölünmelidir fakat $5$ ile bölünebilen, $0$'dan farklı tek rakam $5$'dir ve bu rakamların farklı olması ile çelişir.
$v)$ $d=6$ ise $(2a-6)^2+(2b-6)^2+(2c-6)^2=108$ olur, sadeleştirirsek $(a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2=27$ olur. Buradan $(a,b,c)=(8,4,2)$ çözümleri bulunabilir.
$vi)$ $d=7$ ise $(2a-7)^2+(2b-7)^2+(2c-7)^2=147$ bulunur. Buradan $(a,b,c)=(9,6,3)$ çözümü bulunabilir. (Denemeyi kolaylaştırmak için $a>d>c$ olduğu kullanılarak $a=9$ ve $a=8$ durumları incelenebilir.)
$vii)$ $d=8$ ise $(2a-8)^2+(2b-8)^2+(2c-8)^2=192$ olur, sadeleştirilirse $(a-4)^2+(b-4)^2+(c-4)^2=48$ olur. $a>d$ olduğundan $a=9$ olmalıdır. Buradan $(b-4)^2+(c-4)^2=23$ bulunur fakat iki tamkarenin toplamı $4$ modunda $3$ kalanı veremez. Dolayısıyla buradan da çözüm gelmez.
$d$'nin alabileceği tüm değerler $3$, $6$ ve $7$'dir. Bu değerlerin toplamı $16$'dır.
Not: Bu $d$ değerleri için tüm çözümleri bulmakla uğraşmadım sadece birer örnek buldum, tüm $(a,b,c,d)$'leri bulmak için durumlar tek tek denenebilir, uğraştırıcı olabilir ama tüm değerleri bulabiliriz bu şekilde.
