Cevap: $\boxed{C}$
$x^2+y^2=560-21z=7(80-3z)$'dir. Yani $x^2+y^2$ ifadesi $7$'ye tam bölünmelidir. Eğer $x$ ve $y$'den birisi $7$ ile bölünüyorsa diğeri de bölünmelidir. İkisi de bölünmüyorsa, $$x^2+y^2\equiv 0\pmod{7}\Rightarrow \left (\dfrac{x}{y}\right )^2\equiv -1\pmod{7}$$ olur fakat $-1$, mod $7$'de karekalan değildir. Çelişki. Dolayısıyla $x$ ve $y$, $7$'nin katı olmalıdır. $x=7a$, $y=7b$ dersek, $$49(a^2+b^2)=7(80-3z)\Rightarrow 7(a^2+b^2)=80-3z\Rightarrow 80-3z\equiv 0\pmod{7}\Rightarrow z \equiv 1\pmod{7}$$ Ayrıca eşitliğin sol tarafı pozitif olduğundan sağ tarafı da pozitif olmalıdır. Dolayısıyla $80>3z$ olmalıdır. Elde ettiklerimiz bilgilerden $z$'nin olası değerlerini bulabiliriz. $z=1,8,15,22$ olabilir.
i) $z=1$ ise $$a^2+b^2=11$$ olur fakat bunu sağlayan $a$ ve $b$ pozitif tamsayısı yoktur.
ii) $z=8$ ise $$a^2+b^2=8\Rightarrow (a,b)=(2,2)$$
iii) $z=15$ ise $$a^2+b^2=5\Rightarrow (a,b)=(1,2),(2,1)$$
iv) $z=22$ ise $$a^2+b^2=2\Rightarrow (a,b)=(1,1)$$
çözümlerini elde ederiz. Dolayısıyla $(x,y,z)=(14,14,8),(7,14,15),(14,7,15),(7,7,22)$ olur. $4$ çözüm vardır.
