$(k_2 = 1, N = 1.7)$ Kesen Problemi

[geo]

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB = CD$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC + \angle ACB = 3(\angle DAC)$ ise $\angle DAC = \angle ACB$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Çözüm: Utku Cem KARABULUT

AKBC ikizkenar yamuğu oluşturulup |KD| birleştirilir ve açılar hesaplanırsa |KD|'nin AKC açısının açıortayı olduğu görülür. Buradan ADKC'nin eşkenar dörtgen olduğu görülür. Sonuç olarak m(DAC)=m(ACD)'dir.

$AKCD$ yamuğunda $KC = CD$ olduğu için bu durumda $KD$ köşegeni her zaman açıortaydır. Bu yamuğu bir eşkenar dörtgen yapmaz.

[utku_2178]

$AKCD$ yamuğunda $KC = CD$ olduğu için bu durumda $KD$ köşegeni her zaman açıortaydır. Bu yamuğu bir eşkenar dörtgen yapmaz.

Haklısınız. Gözümden kaçmış. 

[geo]

$\angle DAC = \alpha$ ve $\angle ACB = \beta$ dersek $\angle BAC = 180^\circ - \alpha$, $\angle ADB = \beta + \alpha$ ve $\angle ABD = 3\alpha - \beta$ olacaktır.

$AD > CD = AB$ ise

$\beta > \alpha$ ve

$3\alpha - \beta > \beta + \alpha \Rightarrow \alpha> \beta$

çelişkisi elde edilir. Benzer şekilde $AD < CD=AB$ iken de çelişki elde edilir.
Bu durumda $AD = CD = AB$, dolayısıyla $\angle DAC = \angle ACB$ olur.

Not: Bu problem, Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N = 1.7)$ ya da diğer bir ifadeyle $(k_2=1, a_1=180^\circ - 2x, a_2 = x/2)$ soru ailesine aittir.