Üçgen oluşturma olasılığı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Aşağıdaki kareli zeminde verilen $ABC$ üçgensel bölgesinin dışındaki noktalardan herhangi üç tanesi rastgele seçiliyor. Seçilen noktaların bir üçgen oluşturduğu bilindiğine göre, oluşturulan üçgenin alanının $ABC$ üçgeninin alanına eşit olma olasılığı kaçtır?

[Lokman Gökçe]

$DH \parallel KT \parallel BC $ olduğu açıktır. Tüm durumların sayısı $$\dbinom{5}{2}\dbinom{6}{1} + \dbinom{5}{1}\dbinom{6}{2}= 60 + 75 = 135$$ tir. (Bu kısmı hesapladınız sanırım.) $A$ noktasının $BC$ doğrusuna uzaklığı ile $DH \parallel KT$ doğruları arasındaki uzaklık eşit olduğundan, $Alan(ABC)$ ye eşit alanlı bir üçgen oluşması için taban uzunluğu $|BC|$ ye eşit olan üçgenler istenen durumları oluşturur. Bunları teker teker de yazabilirsiniz: $ |DE|, |EF|, |FG|, |GH| $ tabanlarından her biri için $KT$ üzerindeki altı noktadan birini seçebiliriz: $4\cdot 6 = 24$. Ayrıca $ |KL|, |LM|, |MN|, |NR|, |RT| $ tabanlarından her biri için $DH$ üzerindeki beş noktadan birini seçebiliriz: $5\cdot 5 = 25$ olup istenen durumlar toplam $$ 24+25=49 $$ tanedir. Olasılık $\dfrac{49}{135}$ olarak hesaplanır.