Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 30

[Lokman Gökçe]

$2,a,b,c,n$ pozitif tam sayılarından oluşan artan bir sonlu dizidir. $a,b,c$ sayı üçlüsünün tam $33$ farklı seçimi, bu dizinin ilk üç terimini geometrik, son üç teriminin de aritmetik bir dizi oluşturmasını sağlamaktadır. $n$ sayısının alacağı en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 1024  \qquad\textbf{c)}\ 1089 \qquad\textbf{d)}\ 2180 \qquad\textbf{e)}\ 2314 $

[geo]

$2, a, b$ geometrik dizi ise $a^2 = 2b$ olacağı için $a$ çift sayıdır. $a=2m$ olsun.

Dizi $2, 2m, 2m^2, c, n$ haline dönüşecektir.

$2m^2, c, n$ aritmetik dizi ise $c = \dfrac {n+2m^2}{2} = m^2 + \dfrac n2$ olmalı. Bu durumda $n=2k$ gibi bir çift sayı olmalı.

Diziyi yeniden yazarsak $2, 2m, 2m^2, m^2 + k, 2k$ elde ederiz.
Dizinin artan olması için $2m < 2m^2 < m^2 + k$, yani $m\geq 2$ ve $k > m^2$ olması gerekir.

Soruyu yeniden yazarsak:
$(2m, 2m^2, m^2 + k)$ üçlüsünün tam $33$ farklı seçimi bu dizinin ilk üç terimini geometrik, son üç terimini de aritmetik dizi yapıyorsa $2k$ en az kaçtır?

$a$ ve $b$ de $m$ ye bağlı olduğu için, $m\geq 2$ ve $k > m^2$ tam sayılar olmak üzere; soru şöyle düşünülebilir:
Hangi $k$ değeri için $m\geq 2$ ve $k > m^2$ şartını sağlayan tam olarak $33$ $(m,k)$ ikilisi vardır?

$k = 34^2 + 1 = 1157$ sayısı için $(2, 1157), (3, 1157), \ldots, (34, 1157)$ ikileri söz konusu dizi şartlarını sağlar.

$n=2k = 2314$ olarak elde edilir.