Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 16  (Okunma sayısı 940 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 16
« : Kasım 25, 2018, 09:31:36 ös »
 $1,2,...,7$ sayılarıyla $yedi$ kutunun her birine en az $1$ ve en çok $10$ olmak üzere, bilyeler dağıtılacaktır. Böyle bir dağılımda $i<j$ olmak üzere, $i$ numaralı kutudaki bilye sayısı $j$ numaralı kutudaki bilye sayısından az değilse, $(i,j)$ ikilisine ters ikili diyelim. Tam olarak $bir$ ters ikili içeren kaç dağılım vardır ?
$\textbf{a)}\ 720 \qquad\textbf{b)}\ 1260  \qquad\textbf{c)}\ 1520 \qquad\textbf{d)}\ 1980 \qquad\textbf{e)}\ 2310$
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 16
« Yanıtla #1 : Kasım 22, 2021, 02:14:39 öö »
Cevap: $\boxed{D}$

Dağılımdaki ters ikili $(i,j)$ olsun. Eğer $j-i>1$ ise $(i,i+1)$ ters ikili değildir fakat $(i,j)$ ikilidir. $a.$ kutudaki bilye sayısı $x_a$ dersek, $x_i<x_{i+1}$ ve $x_i\geq x_j$ olacağından $x_{i+1}>x_j$ olacaktır. Yani $(i+1,j)$ ikilisi de ters ikilidir. Bu da bir tane ters ikili içermesiyle çelişir. Dolayısıyla $j=i+1$'dir. Yani tek ters ikili $(i,i+1)$'dir. $6$ farklı $(i,i+1)$ ikilisi seçilebilir. Bu dağılım için $(i,i+1)$ ikilisi hariç kutulardaki bilye sayısı artan sırada olmalıdır. Örneğin $i=3$ ise $x_1<x_2<x_4\leq x_3<x_5<x_6<x_7$ olacaktır. İki ihtimal vardır: $x_i=x_{i+1}$ veya $x_{i+1}<x_i$. Bu durumlardaki dağılım sayısını bulmak için $\{1,2,\dots,10\}$ kümesinden elemanlar seçip artan sırada dizmeliyiz. $x_i=x_{i+1}$ ise $6$ sayı $x_{i+1}<x_i$ ise $7$ adet sayı seçmeliyiz. Bu durumda dağılım sayısı $$6\left (\dbinom{10}{6}+\dbinom{10}{7}\right)=1980$$ elde edilir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal