Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 36

[geo]

$x_1 = -1$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $x_{n+1} = \left(1+\dfrac 2n\right)x_n + \dfrac 4n$ ise, $x_{2000}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 1999998
\qquad\textbf{b)}\ 2000998
\qquad\textbf{c)}\ 2009998
\qquad\textbf{d)}\ 2000008
\qquad\textbf{e)}\ 1999999
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Biraz düzenlemeyle $$ nx_{n+1}= (n+2)x_{n}+4 $$ elde ederiz.
$y_n = x_n +2$ olsun. Bu durumda $y_1 = 1$ ve $$\begin{array}{rcl}
n(y_{n+1}-2) &=& (n+2)(y_n-2)+4 \\
ny_{n+1}-2n &=& (n+2)(y_n)-2n-4+4 \\
ny_{n+1} &=& (n+2)y_n
\end{array}$$ olur.
$$\begin{array}{rcl}
ny_{n+1} &=& (n+2)y_n \\
(n-1)y_{n} &=& (n+1)y_{n-1} \\
(n-2)y_{n-1} &=& ny_{n-2} \\
&\vdots&\\
3y_4 &=& 5y_3 \\
2y_3 &=& 4y_2 \\
1y_2 &=& 3y_1
\end{array}$$
eşitliklerini taraf tarafa çarparsak $$ y_{n+1}=\dfrac{y_1(n+1)(n+2)}2 \Rightarrow y_{2000}=\frac{2000\times 2001}{2} = 2001000$$ elde ederiz. Bu durumda $$ y_{2000}-2 = x_{2000}= 2000998 $$ olur.