Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1971 Soru 4

[geo]

$ABCD$ dörtyüzlüsünün yüzlerinden her biri dar açılı üçgendir. $X$, $AB$ kenarı üzerinde $A$ ve $B$ den farklı bir noktadır. Benzer şekilde $Y$, $Z$, $T$ sırasıyla $BC$, $CD$, $DA$ kenarlarının iç noktalarıdır. Tüm $XYZTX$ kapalı çokgensel yollarını ele alalım.

• $\angle DAB + \angle BCD \neq \angle CDA + \angle ABC$ ise, çokgensel yollar arasından en kısa yola sahip olanın bulunmadığını gösteriniz.
  
• $\angle DAB + \angle BCD \neq \angle CDA + \angle ABC$ ise, sonsuz çoklukta en kısa çokgensel yol olduğunu, $\alpha = \angle BAC + \angle CAD + \angle DAB$ olmak üzere; bu en kısa yolun uzunluğunun da $2\cdot AC\cdot \sin(\alpha /2)$ olduğunu gösteriniz.