Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 1

[Eray]

Dar açılı $\triangle ABC$ üçgeninde $C$ köşesinden çizilen dikmenin ayağı $D$ noktasıdır. $\angle ABC$ açısının iç açıortayı, $CD$ yi $E$ noktasında, $\triangle ADE$ nin çevrel çemberi $\omega$ yı yeniden $F$ noktasında kesiyor. $\angle ADF=45^\circ$ ise $CF$ nin $\omega$ ya teğet olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$\angle ADF=\angle CDF=45^\circ$  ve  $\angle DBF=\angle CBF$  olduğu için ve iki dış açıortay ve bir iç açıortay bir noktada kesiştiği için $\triangle DBC$  de  $CF$ doğrusu  $\angle DCB$  nin dış açıortayıdır. $\angle DBF=\angle CBF=\alpha$ olsun.  $\angle DEF=90+\alpha$  ve $\angle CEF=90-\alpha$  olur. $CF$  dış açıortay olduğu için $\angle ECF=\dfrac{90+2\alpha}{2}=45+\alpha$  olur. O zaman $\triangle ECF$  de  $\angle EFC=45^\circ$  olur.  $\angle EDF=\angle EFC=45^\circ$   olduğu için $CF \ , \ \omega$  ya teğettir. İspat biter.