2002 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 3

[matematikolimpiyati]

Tam sayı katsayılı
$$ax^2+bx+c=0,\quad (a \neq 0)$$
denkleminin rasyonel kökü varsa, $a,b$ ve $c$ sayılarından en az biri çift sayıdır, kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Bu denklemin kökleri $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ olduğundan, biri rasyonelse diğeri de rasyoneldir ve $\Delta=b^2-4ac$ tamkare olmalıdır. Eğer $b$ çiftse ispatlayacak bir şey yoktur.

Eğer $b$ tekse ($=2b_0+1$), $\Delta$ da tek bir tamkaredir. $\Delta=(2t+1)^2$ dersek, $$4ac=(2b_0+1)^2-(2t+1)^2=(2b_0-2t)(2b_0+2t+2)\implies ac=(b_0-t)(b_0+t+1)$$ $(b_0-t)+(b_0+t+1)=2b_0+1$ tek sayı olduğundan $(b_0-t)$ ve $(b_0+t+1)$'nin pariteleri (tekliği-çiftliği) farklıdır. Dolayısıyla en az bir tanesi çifttir. Bu durumda da $ac$'nin çift olduğu bulunur. Sonuç olarak da $a$ veya $c$'den biri çift olmak zorundadır.

Her durumda $a,b,c$'den en az birisi çifttir.