permütasyon-kombinasyon {Çözüldü}

[demirhan]

Merdivenleri birer birer,ikişer ikişer,üçer üçer çıkıp inebilen bir çocuk beş basamaklı merdiveni kaç farklı şekilde çıkıp inebilir?

[FEYZULLAH UÇAR]

(11111),(1112),(122),(113),(23) şekillerinde çıkar.Tekrarlı permütasyondan
11111......>5!/5!=1
1112........> 4!/3!.1!=4
122..........> 3!/2!.1!=3
113..........> 3!/2!.1!=3
23............>2!/1!.1!=2 
olur.1+4+3+3+2=13 farklı şekilde çıkar

[proble_m]

(11111),(1112),(122),(113),(23) şekillerinde çıkar.Tekrarlı permütasyondan
11111......>5!/5!=1
1112........> 4!/3!.1!=4
122..........> 3!/2!.1!=3
113..........> 3!/2!.1!=3
23............>2!/1!.1!=2 
olur.1+4+3+3+2=13 farklı şekilde çıkar

Soruda "kaç farklı şekilde çıkıp inebilir?" dediği için ufak bir ekleme yapılırsa;

13*13=169 olur.

[FEYZULLAH UÇAR]

evet

[Ferhat GÖLBOL]

Soru, Fibonacci dizisinin genişletilmiş hali. Bu kişi n. basamağa ya (n-1). basamaktan bir basamaklık adımda, ya (n-2). basamaktan iki basamaklık adımda, ya da (n-3). basamaktan 3 basamaklık adımda çıkar. Dolayısıyla
s_n=s_n-1+s_n-2+s_n-3 'tür.
1. basamağa s₁=1, 2. basamağa s₂=2, 3. basamağa s₃=4 farklı şekilde çıkar.
s₄=1+2+4=7
s₅=2+4+7=13 farklı şekilde çıkıp 13 farklı şekilde iner. Dolayısıyla 13*13=169 farklı şekilde çıkıp iner.

Soru: Her adımda en fazla k basamak çıkabilen bir kişi n. basamağa kaç farklı şekilde çıkabilir?
Yanıt
  a) n küçük eşit k ise: Bu kişi ilk n basamak içinden istediği her basamağa çıkabilir. Basamaklar kümesini B_n={b₁,b₂, ... , b_n} ile gösterirsek B_n-1 kümesinin herhangi bir alt kümesini seçer, bu alt kümenin elemanlarını indisleri artan sırada olacak şekilde dizer ve oluşan sıraya göre basamakları çıkar.En son da b_n'e çıkar. Bu durumda farklı çıkışların sayısı n-1 elemanlı B_n-1 kümesinin tüm alt kümeleri sayısı olan 2^n-1 'e eşittir.
  b) n > k ise: Bu kişi n. basamağa (n-1). , (n-2). , ... , (n-k). basamaklardan çıkabilir. Bu durumda
s_n=s_n-1+s_n-2+...+s_n-k eşitliği oluşur.