Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 03

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $x^3+y^3+3xy=1$ eşitliği sağlanıyorsa $x+y$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüm için $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$ özdeşliğini kullanacağız.

$a=x, b=y, c=-1$ alalım:

$$x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)=(x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)=0$$
olur. $x+y-1=0$ olacağından değerlerden biri $x+y=1$ olarak bulunur.
$$x^2+y^2+1-xy+x+y=0$$ eşitliğini $2$ ile genişletelim.
$$2x^2+2y^2+2-2xy+2x+2y=0$$
$$(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=0$$
$$(x-y)^2+(y+1)^2+(x+1)^2=0$$
eşitliğinin sağlanması için $x=y, y=-1, x=-1$ olmalıdır. Bu durumda $x+y=-2$ değerini alır. Sonuç olarak $x+y$ toplamı $2$ farklı değer alır.

Not 1: Özdeşliği kullanmadan $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ yazılarak da çözüm yapılabilir.

Not 2: İkinci çarpan \begin{align}x^2+y^2-xy+x+y+1&=x^2+(1-y)x+y^2+y+1\\&=\left(x+\frac{1-y}{2}\right)^2-\left(\frac{1-y}{2}\right)^2+y^2+y+1\\&=\left(x+\frac{1-y}{2}\right)^2+\frac 34(y+1)^2\end{align} şeklinde kareler toplamı olarak yazılabilir.

[alpercay]

Ortaokul seviyesinde değil ama $x^2-xy+y^2+x+y+1=0$ kısmını konik olarak düşünürsek $$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$ genel konik denkleminde $xy$ terimini yok etmek için kullanılan $\tan2\theta=\dfrac{B}{A-C}=\dfrac{-1}{0}$, $\theta=\pi/4$   $$x=X\cos\theta-Y\sin\theta=(X-Y)/\sqrt{2}$$  $$y=X\sin\theta+Y\cos\theta=(X+Y)/\sqrt{2}$$  dönüşümleri ile $$(X+\sqrt{2})^2+3Y^2=0$$  ve $x=y=-1$ bulunuyor.

Geometrik olarak yorumlarsak $x^3+y^3+3xy-1=0$ eğrisi $x+y=1$ doğrusu ile $(-1,-1)$ noktasından ibaret.

[alpercay]

(Resmi Çözüm) $0=x^3+y^3+3xy-1=((x+y)^3-1)-3xy(x+y)+3xy=(x+y-1)((x+y)^2+x+y+1))-3xy(x+y-1)=(x+y-1)(x^2-xy+y^2+x+y+1)$ bulunur. $x+y=1$ olması durumunda denklem sağlanır.

$x+y\ne 1$ ise $x^2-xy+y^2+x+y+1=0$ olmalıdır. Bu denklemi $2$ ile çarparsak $(x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=0$ bulunur ve denklemin tek çözümü $x=y=-1$ olduğu için $x+y=-2$ olabilir; yani bu toplamın alabileceği $2$ farklı değer bulunur.

[geo]

$x+y=a$, $x-y=b$ olsun.
$x=\dfrac{a+b}2$ ve $y=\dfrac{a-b}2$ değerlerini yerine yazarsak $$\begin{array}{lcl}
0&=& \dfrac{(a+b)^3}{8}+\dfrac{(a-b)^3}{8}+3\cdot \dfrac{a+b}2 \cdot \dfrac{a-b}2-1 \\
&=&
\dfrac{a^3+3ab^2+3a^2-3b^2-4}4 \\
0&=& a^3-1+3b^2(a-1)+3(a^2-1)\\
&=&(a-1)(a^2+a+1+3b^2+3a+3)\\
&=&(a-1)\left ((a+2)^2+3b^2 \right )
\end{array}$$
$a=1, b\in \mathbb R$ veya $a=-2, b=0$ olmalı.

[yusufipek]

\[
x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)
\]
olup, problemde verilen eşitlik düzenlenirse:
\[
(x + y)^3 - 3xy(x + y) + 3xy - 1 = 0
\]
olur. Şimdi $ x + y = a $ ve $ xy = b $ dönüşümünü yapalım. Şu hâlde:
\[
a^3 - 3ab + 3b - 1 = 0
\]
olur. $ a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) $ olduğu kullanılırsa:
\[
a^3 - 3ab + 3b - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) - 3b(a - 1) = (a - 1)(a^2 + a + 1 - 3b)
\]
elde edilir. Buradan: $$ a - 1 = 0 \quad \vee \quad a^2 + a + 1 - 3b = 0 $$
olur.

1. Durum: $ a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow x + y = 1 $

2. Durum: $ a^2 + a + 1 - 3b = 0 \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 + x + y + 1 - 3xy = 0 \Rightarrow x^2 - xy + y^2 + x + y + 1 = 0 $
\[
\Rightarrow 2x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x + 2y + 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow (x - y)^2 + (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x = y = -1 \Rightarrow x + y = -2
\]
 Böylece $ x + y $ toplamının $2$ farklı değeri olduğu görülür.