Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2002 Soru 2

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$O_{1}$ ve $O_{2}$ merkezli iki çember $A$ ve $B$ noktasında kesişmektedir ($O_{1}$ ve $O_{2}$ merkezleri, $AB$ doğrusunun farklı taraflarında kalmak üzere). $BO_{1}$ ve $BO_{2}$ doğruları, kendi çemberlerini sırasıyla $B_{1}$ ve $B_{2}$ noktalarında kesiyor. $B_{1}B_{2}$ doğru parçasının orta noktası $M$ olsun. $M_{1}$ ve $M_{2}$ ise sırasıyla $O_{1}$ ve $O_{2}$ merkezli çemberlerin üstünde $\angle AO_{1}M_{1}=\angle AO_{2}M_{2}$; $B_{1}$, küçük $AM_{1}$ yayı üzerinde  ve $B$ küçük $AM_{2}$ yayı üzerinde olacak şekilde alınıyor.
$$\angle MM_{1}B =\angle MM_{2}B$$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Çapı gören çevre açılardan $\angle B_1AB = \angle B_2AB = 90^\circ$ olacağı için $B_1, A, B_2$ doğrusaldır.
$\angle ABM_2 = 180^\circ - \dfrac {\angle AO_2M_2}2 = 180^\circ - \dfrac {\angle AO_1M_1}2 =180^\circ -  \angle ABM_1$ olduğu için $M_1, B, M_2$ doğrusaldır.
Çapı gören çevre açıdan $\angle B_1M_1B =\angle  B_2M_2B = 90^\circ$ olduğu için $B_1M_1M_2B_2$ bir dik yamuktur.
$N$, $M_1M_2$ nin orta noktası olsun. $MN$ dik yamuğun orta tabanı olacaktır. Bu durumda $MN \parallel B_1M_1$, yani $MN \perp M_1M_2$ olacaktır. Bu da $MM_1M_2$ üçgeninin ikizkenar olduğu anlamına gelir.