Gönderen Konu: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 3  (Okunma sayısı 1701 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1418
  • Karma: +3/-0
2005 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 3
« : Temmuz 04, 2023, 10:02:37 ös »
$x+y+z=1$ eşitliğini sağlayan her pozitif $x,y$ ve $z$ sayıları için
$$18xyz+7(x^2+y^2+z^2) \geq 3$$
eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1139
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 3
« Yanıtla #1 : Temmuz 15, 2023, 03:31:52 öö »
$x,y,z\in (0,1)$ için $f(x,y,z)=18xyz+7(x^2+y^2+z^2)$ ve $g(x,y,z)=x+y+z-1$ olsun. Lagrange çarpan metodundan, $f$'in $g(x,y,z)=0$ koşulu altındaki lokal ekstremumlarını bulabiliriz. Bunun için de $\lambda$ sabiti için $$f_x=\lambda g_x\text{   ve   }f_y=\lambda g_y\text{   ve   }f_z=\lambda g_z$$ olmalıdır. $g_x=g_y=g_z=1$ olduğundan $$f_x=f_y=f_z=\lambda$$ olmasını istiyoruz. Dolayısıyla lokal ekstremum olan bir $(x,y,z)$'de $$18yz+14x=18xz+14y=18xy+14z=\lambda$$ olmalıdır. Buradan $$18z(y-x)=14(y-x)$$ elde edilir. $x\neq y$ ise $z=\frac{7}{9}$ olmalıdır. $x\neq y$ kabul edelim. Bu durumda $x+y=\frac{2}{9}$ olur. Benzer şekilde $18y(x-z)=14(x-z)$ elde edileceğinden ve $x\neq z$ olması gerektiğinden ($x<z$ olacaktır) $y=\frac{7}{9}$ olması gerektiği ortaya çıkar ama bu da imkansızdır çünkü $x<0$ olacaktır. Dolayısıyla $x=y$'dir. Benzer şekilde $x=y=z=\frac{1}{3}$ elde edilir.

Sonuç olarak $f$ fonksiyonunun $g(x,y,z)=0$ koşulu altında alabileceği minimum değer ya sınır durumlarında ya da $x=y=z=\frac{1}{3}$ durumunda alınacaktır.

$f\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)=3$ olacaktır. Şimdi de sınır durumlarına bakalım. Simetriden dolayı genelliği bozmadan $x\to 1^-$ ve $x\to 0^+$ durumlarını incelememiz yeterlidir.

$x\to 0^+$ için $y+z\to 1^-$ olacaktır. Ayrıca $18xyz\to 0$ ve $7(x^2+y^2+z^2)\to 7(y^2+z^2)$ olacaktır. $$2(y^2+z^2)\geq (y+z)^2\implies 7(y^2+z^2)\geq \frac{7}{2}(y+z)^2$$ olduğundan $18xyz+7(x^2+y^2+z^2)$ ifadesi $\frac{7}{2}$'ye veya daha büyük bir sayıya yakınsayacaktır.

$x\to 1^-$ için $y,z\to 0^+$ olacaktır. Buradan da $18xyz+7(x^2+y^2+z^2)\to 7$ olur. Yani sınır durumlarında da $3$'ten daha küçük bir değer elde edemeyiz. Bu durumda $f$'in $g(x,y,z)=0$ koşulu altındaki minimum değeri $3$ olacaktır. Buradan da $$18xyz+7(x^2+y^2+z^2)\geq 3$$ elde edilir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı ygzgndgn

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 76
  • Karma: +0/-0
Ynt: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 3
« Yanıtla #2 : Nisan 03, 2024, 12:09:02 öö »
Daha sentetik bir çözüm sunalım. $pqr$ metodunu kullanacağız. $p=x+y+z$, $q=xy+yz+zx$, $r=xyz$ olsun. $p=1$ verilmiş. Verilen eşitsizlik aşağıdakine denktir:
$$18r+7(p^2-2q)\geq 3\Leftrightarrow 2+9r\geq 7q\Leftrightarrow p^3+9r\geq 7q-1.$$ Schur Eşitsizliğinden $p^3+9r\geq 4pq$ gelir. O halde $4pq\geq 7q-1$ ise eşitsizlik sağlanır. $4q\geq 7q-1\Leftrightarrow 3q\leq 1.$ Bu ise $p^2\geq 3q$ eşitsizliğinden gelir. Bu tamkare eşitsizliğinden ispatlanabilir.
"Hayatta en hakiki mürşit ilimdir, fendir."
-Mustafa Kemal Atatürk

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal