$x,y,z\in (0,1)$ için $f(x,y,z)=18xyz+7(x^2+y^2+z^2)$ ve $g(x,y,z)=x+y+z-1$ olsun. Lagrange çarpan metodundan, $f$'in $g(x,y,z)=0$ koşulu altındaki lokal ekstremumlarını bulabiliriz. Bunun için de $\lambda$ sabiti için $$f_x=\lambda g_x\text{ ve }f_y=\lambda g_y\text{ ve }f_z=\lambda g_z$$ olmalıdır. $g_x=g_y=g_z=1$ olduğundan $$f_x=f_y=f_z=\lambda$$ olmasını istiyoruz. Dolayısıyla lokal ekstremum olan bir $(x,y,z)$'de $$18yz+14x=18xz+14y=18xy+14z=\lambda$$ olmalıdır. Buradan $$18z(y-x)=14(y-x)$$ elde edilir. $x\neq y$ ise $z=\frac{7}{9}$ olmalıdır. $x\neq y$ kabul edelim. Bu durumda $x+y=\frac{2}{9}$ olur. Benzer şekilde $18y(x-z)=14(x-z)$ elde edileceğinden ve $x\neq z$ olması gerektiğinden ($x<z$ olacaktır) $y=\frac{7}{9}$ olması gerektiği ortaya çıkar ama bu da imkansızdır çünkü $x<0$ olacaktır. Dolayısıyla $x=y$'dir. Benzer şekilde $x=y=z=\frac{1}{3}$ elde edilir.
Sonuç olarak $f$ fonksiyonunun $g(x,y,z)=0$ koşulu altında alabileceği minimum değer ya sınır durumlarında ya da $x=y=z=\frac{1}{3}$ durumunda alınacaktır.
$f\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)=3$ olacaktır. Şimdi de sınır durumlarına bakalım. Simetriden dolayı genelliği bozmadan $x\to 1^-$ ve $x\to 0^+$ durumlarını incelememiz yeterlidir.
$x\to 0^+$ için $y+z\to 1^-$ olacaktır. Ayrıca $18xyz\to 0$ ve $7(x^2+y^2+z^2)\to 7(y^2+z^2)$ olacaktır. $$2(y^2+z^2)\geq (y+z)^2\implies 7(y^2+z^2)\geq \frac{7}{2}(y+z)^2$$ olduğundan $18xyz+7(x^2+y^2+z^2)$ ifadesi $\frac{7}{2}$'ye veya daha büyük bir sayıya yakınsayacaktır.
$x\to 1^-$ için $y,z\to 0^+$ olacaktır. Buradan da $18xyz+7(x^2+y^2+z^2)\to 7$ olur. Yani sınır durumlarında da $3$'ten daha küçük bir değer elde edemeyiz. Bu durumda $f$'in $g(x,y,z)=0$ koşulu altındaki minimum değeri $3$ olacaktır. Buradan da $$18xyz+7(x^2+y^2+z^2)\geq 3$$ elde edilir.
