Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2023 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Negatif olmayan (hepsi birden $0$'a eşit değil) tüm $x,y,z$ reel sayıları için aşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız :
$$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z} \geq 3$$
Eşitlik durumunu sağlayan tüm $(x,y,z)$ üçlülerini belirleyiniz.

(Sırbistan)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)
$$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2-y+z+x}{y+z^2+x^2}+\dfrac{2z^2-z+x+y}{z+x^2+y^2}$$
$$=\sum{\dfrac{x^2+y^2+z}{x+y^2+z^2}}+\sum{\dfrac{x^2-x+y-y^2}{x+y^2+z^2}}\overbrace{\geq}^{AGO} 3+\sum{\dfrac{x^2-x+y-y^2}{x+y^2+z^2}}\geq 3$$
Yani
$$\sum{\dfrac{x^2-x+y-y^2}{x+y^2+z^2}}\geq 0$$
İki tarafa da +3 ekleyelim
$$\sum{\left(\dfrac{x^2-x+y-y^2}{x+y^2+z^2}+1\right)}=\boxed{\dfrac{x^2+z^2+y}{x+y^2+z^2}+\dfrac{x^2+y^2+z}{y+x^2+z^2}+\dfrac{y^2+z^2+x}{z+x^2+y^2}\geq 3}$$.
Bu eşitsizliğin doğru olduğu açıktır.
Eşitlik durumu $x^2+y=x+y^2$, $z^2+y=y^2+z$
$x(x-1)=y(y-1)=z(z-1)$ olduğunda olur.
İki ana durum ve permütasyonları vardır:
$i)$ $\boxed{(x,y,z)=(t,t,t)}$
$ii)$ $\boxed{(x,y,z)=(1-t,t,t)}$ , $t\in [0,1]$
ve permütasyonları.

Not:$(1-t,t,t)=(1-t,1-t,t)$ olduğundan, $ii)$ hepsini kapsar. $Q.E.D.$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Versiyon 1
$x,y,z,u$ negatif olmayan reeller (Hepsi birden $0$'a eşit olmamak üzere) olmak üzere


$$\sum_{cyc}{\dfrac{3x^2-2x+y+z+u}{x+y^2+z^2+u^2}}\geq 4$$


olduğunu gösteriniz. Eşitlik ne durumda oluşur ?

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş JBMO 2023 #2