Fonksiyonel denklem sorusu

[alpercay]

Uygun tanım aralığında tanımlı $f$ fonksiyonu $$f(x) +xf(1/x)=x+\dfrac{1}{x+1}$$ eşitliğini sağlıyorsa $f$ fonksiyonunu bulunuz.

Seçenekler $(x^2-1)/x^3, x^3/(x^2-1), x^3/(x+1), (x^2+1)/x^3, x^3/(x^2+1)$

şeklinde.

$f(1)$ değeri seçeneklerde ve denklemde farklı çıktığından sorunun hatalı/eksik sorulmuş olabileceğini düşündüm. Sorunun kaynağını bilmiyorum; Tmoz'da sorulmuş. Soruya verilen çözümü ve yapılan yorumları daha sonra paylaşacağım.

[Metin Can Aydemir]

Tam bir çözüm şimdilik elimde yok ama eşitliğin tek çözümü $f(x)=\frac{x+2}{2(x+1)}$ gibi gözüküyor. Soru hazırlanırken nasıl bir hata oldu da şıklar bu şekilde verildi emin değilim.

[Eray]

Fonksiyona dair ilave özellikler söylenmesi gerekiyor olabilir mi? Süreklilik gibi.

Bu haliyle her $a\in\mathbb R\setminus\{0\}$ sayısı için $f(a)$ değeri ile ilişkisini bildiğimiz sadece $f(1/a)$ var. Örneğin $f(2)$ hakkında bildiğimiz tek şey $f(2)$ ve $f(1/2)$ sayılarının sağladığı bir eşitlik ($x=2$ veya $x=1/2$ koyulduğunda elde edilen eşitlik). $f(2)$ ve $f(1/2)$ değerlerini etkileyen başka herhangi bir bilgimiz mevcut değil.

Sorunun bu haliyle şu da bir çözümdür:
$f(x) = \left\{
    \begin{array}{lr}
        \frac{x+2}{2(x+1)}, & 2 \neq x \neq 1/2\\
        7/3, & x=2\\
        0, & x=1/2
    \end{array}
\right.$

[Lokman Gökçe]

Ayrıca $f: \mathbb{R} - \{-1,0\} \to \mathbb{R} $ biçiminde bir çözüm

$
\begin{equation*}
f(x)= \left\{
\begin{split}
\dfrac{x^3}{x^2-1}, &\quad x \neq 0, 1, -1 \text{ ise}  \\
\dfrac{3}{4}, &\quad x=1 \text{ ise}
\end{split}
\right.
\end{equation*}
$

olmaktadır.


Bu soruda da bir başka fonksiyonel denklemi sağlayan birden fazla sağlayan çözüm vakası var gibi görünüyor.

[alpercay]

Soruyu matkafasında da tartıştık. Buradan https://www.matkafasi.com/138191/fonksiyonel-denklem?state=edit-138204 izlenebilir.

Verilen çözümü değiştirerek paylaşıyorum:

$f(x) +xf(1/x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}=\dfrac{x^3}{x^2-1}+\dfrac{-1}{x^2-1}$ ve $g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1},  h(x)=\dfrac{-1}{x^2-1}$ dersek

 $$f(x) +xf(1/x)=g(x)+h(x)$$

 $g(\dfrac{1}{x})$ değerini hesaplayalım:

$g(\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{x(1-x^2)}=\dfrac{h(x)}x{}$  $$h(x)=xg(\dfrac{1}{x})$$ olduğundan $$f(x) +xf(1/x)=g(x)+h(x)=g(x)+xg(\dfrac{1}{x})$$ eşitliğinden $$f(x)=g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$$ elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Yorumda bulunan herkes doğru noktalara parmak basmış. Bariz bir şekilde, Eray'ın da bahsettiği veya benim ve alpercay hocanın çözümlerinde görüldüğü gibi, birden fazla hatta sonsuz çözüm var. Bu durumda sorunun soruluş şekli yanlış fakat sormak istediği şey doğru bence. Demek istediğimi açarsak, soruda "bu fonksiyonu bulunuz" gibi bir ifade kullanılması yanlış çünkü eşitliği sağlayan tek bir tane fonksiyon yok. Ancak "bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi olabilir?" denilseydi sorun olmazdı çünkü bu durumda sadece şıkların denendiği basit bir soru olurdu ve $f(1)$'in sağlamaması sorun teşkil etmezdi zira tanım aralığı spesifik bir şekilde belirtilmemiş.

Eşitliği sağlayan tüm fonksiyonların bulunmasının istenildiği bir soru düşünelim. Bu durumda da "güzel formatta olmayan" fonksiyonlardan kurtulmak için, Eray'ın da dediği gibi, $f(x)$'i $f\left(\frac{1}{x}\right)$ dışındaki değerlerle ilişkilendirecek bir bilgi daha gerekiyor. Sadece sonlu noktada süreksiz olan bir fonksiyon olsa bile elimizde $f(x)=\frac{x+2}{2x+2}$ ve $f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$ gibi iki çözüm var. Daha fazla da bu şekilde çözüm çıkabilir.