Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1999 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Negatif olmayan her $n$ tam sayısı için $A_n=2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$  olarak tanımlayalım.

$A_0,A_1,...,A_{1999}$ sayılarının en büyük ortak bölenini bulunuz.

[matematikolimpiyati]

Çözüm:

$A_0=1+9+25=35$ olduğundan dizideki sayıların en büyük ortak böleni $35$ veya $35$'in bölenleri olabilir.

$A_1=8+3^8+5^8 =8 +9^4 +5^8 \equiv 3 + (-1)^4 \equiv 3+1 \equiv 4 \pmod 5 \implies 5 \nmid A_1$ dolayısıyla $5$ ortak bölen değildir. Diğer taraftan
$$A_n=2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}=8^n+9^{3n+1}+25^{3n+1} \equiv 1^n+2^{3n+1}+4^{3n+1} =1+2 \cdot 8^n +4 \cdot 64^n \equiv 1 + 2 \cdot 1^n + 4 \cdot 1^n =7 \equiv 0 \pmod 7$$
ve böylece her $n\geq 0$ için $7 \mid A_n$ elde edilir. Sonuç olarak $A_0,A_1,...,A_{1999}$ sayılarının en büyük ortak böleni $\boxed 7$ olur.