Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1999 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$a, b, c$ farklı gerçel sayılar olmak üzere
$$a^3 + ax + y = 0, \quad b^3 + bx + y = 0, \quad c^3 + cx + y = 0 $$
olacak şekilde $x, y$ gerçel sayıları vardır. $a+b+c=0$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Birbirinden farklı $a, b, c$ gerçel sayılarını $P(t)=t^3 + xt + y$ üçüncü dereceden polinomunun üç farklı kökü olarak düşünebiliriz. Böylece $P(a)= a^3 + ax + y = 0$, $P(b)= b^3 + bx + y = 0$, $P(c)=c^3 + cx + y = 0$ denklemleri sağlanır. $P(t)$ polinomunda $t^2$ li terimin katsayısı $0$ olduğundan Vieta formülüne göre köklerin toplamı $a+b+c =0$ olur.