Kolay bir soru olduğunun farkındayım ama amacım farklı bir bakış açısı çıkar mı diye bakmaktı, alpercay hocamın demek istediğini toparlamak gerekirse, $a<b$ sayılarından en az biri irrasyonel ise $\dfrac{a+b}{2}$ sayısı da irrasyonel olacaktır ve ayrıca $$a<\dfrac{a+b}{2}<b$$ olduğundan istenen sağlanır. Fakat burada bir sorun var, $\dfrac{a+b}{2}$ ifadesinin $a=1-\sqrt{2}$ ve $b=\sqrt{2}$ gibi irrasyonel sayıları için irrasyonel olmadığını görürüz. Yani tamamen doğru bir çözüm olmuyor ama çok ufak düzeltmelerle düzelebilebilir. Eğer $a$ ve $b$'den en az biri irrasyonel ve $\dfrac{a+b}{2}$ ifadesi de irrasyonelse istenen sağlanır. Eğer değilse, $\dfrac{a+\dfrac{a+b}{2}}{2}=\dfrac{3a+b}{4}$ ifadesine bakabiliriz, bu ifade de yukarıda bahsettiğimiz eşitsizliğe benzer şekilde $$a<\dfrac{3a+b}{4}<\dfrac{a+b}{2}<b$$ olacaktır. Yani $\dfrac{3a+b}{4}$ değeri irrasyonelse yine istenilen sağlanır. Eğer bu ifade de rasyonel ise $\left (\dfrac{3a+b}{4},\dfrac{a+b}{2}\right )$ aralığında irrasyonel sayı bulmamız yeterlidir çünkü $(a,b)$ kümesi bu kümeyi kapsar. İki rasyonel sayı arasında irrasyonel sayı olmak zorunda olduğunu göstereceğiz.
Eğer $a$ ve $b$'nin ikisi de rasyonelse $(0,1)$ aralığında bir irrasyonel sayı alalım mesela $x=\dfrac{\pi}{4}$ olsun (veya $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ olabilir, fark etmez). O halde $(b-a)x+a$ ifadesi $$0<x<1\Rightarrow 0<(b-a)x<b-a\Rightarrow a<(b-a)x+a<b$$ olduğundan $(a,b)$ aralığındadır. Ayrıca irrasyoneldir çünkü $b-a$, $0$'dan farklı bir rasyonel sayı olduğundan $(b-a)x$ sayısı irrasyoneldir, ayrıca $(b-a)x+a$ sayısı da irrasyonel olacaktır.
Benim farklı bakış açısı altında belirtmek istediğim ispat şudur (yukarıdakinden daha zor olacağını biliyorum), $(a,b)$ aralığında eğer hiç irrasyonel sayı yoksa o halde bu kümenin tüm elemanları rasyoneldir, dolayısıyla sayılabilir bir kümedir (Bunu "Kardinalite ve Sayılabilir Kümeler" konusunda göstermiştim). $f:(a,b)\rightarrow (0,1)$ için $f(x)=\dfrac{x-a}{b-a}$ fonksiyonu birebir ve örtendir. Dolayısıyla $Card((a,b))=Card((0,1))$'dir. Ayrıca $Card((0,1))=Card(\mathbb{R})$ olduğundan $(0,1)$, $(a,b)$ kümelerinin hepsi sayılamaz kümelerdir. Dolayısıyla bu bir çelişkidir, $(a,b)$ aralığında en az bir irrasyonel sayı olmalıdır.
Aklıma daha düşündürücü bir soru gelmemişti ama bu da güzel soru oldu bence
Ayrıca şunu da belirtelim, $a$ ve $b$'nin rasyonel olduğu durumda, eğer $(0,1)$ aralığında sonsuz irrasyonel sayı olduğu gösterilirse üstte belirttiğimiz gibi $(b-a)x+a$ formatında sonsuz sayı bulabiliriz ki $(0,1)$ aralığında sonsuz irrasyonel sayı olduğunu göstermek zor değil $n>1$ tamsayısı için $n$ tamkare değilse $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ istenileni sağlar yani $(a,b)$ aralığında sonsuz tane irrasyonel sayı vardır. Peki $a$ ve $b$'den en az biri irrasyonel olursa sonsuz tane irrasyonel sayı olduğunu nasıl gösteririz?
