Soru: $f: \mathbb Z \to \mathbb Z$ fonksiyonu her $x, y \in \mathbb Z$ için
$$ f(f(x)+y) -f(y+7) = x $$
eşitliğini ve $f(2)=5$ koşullarını sağlasın. Bu durumda, $f(11)$ aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ -4 \qquad\textbf{b)}\ -3 \qquad\textbf{c)}\ -2 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ 7 $
Not: Aslında, $f(11)$ değerinin herhangi bir çift tam sayıya eşit olabileceğini düşünüyorum. Çözümü incelerken, herhangi bir adımda hata yapıyor olabileceğimi düşünerek irdelemenizde fayda var. Yanlış yaptığım kısım varsa, belirtirseniz sevinirim. Çözüme geçelim:
Çözüm (Lokman GÖKÇE):
$$ f(f(x)+y) -f(y+7) = x \tag{1}$$
ana denkleminde $y=0$ koyarsak her $x \in \mathbb Z$ için $$ f(f(x))=x+f(7) \tag{2}$$ olur. Bu eşitlik bize $f$ fonksiyonunun bire bir olduğunu gösterir. İki keyfi $x_1 \neq x_2$ tam sayısı alıp $(2)$ denkleminde yazarsak $ f(f(x_1)) = x_1 + f(7)$ ve $ f(f(x_2)) = x_2 + f(7)$ olur. Buradan $ f(f(x_1)) \neq f(f(x_2))$ olup $f(x_1)\neq f(x_2)$ elde edilir. Yani $f$ bire bir fonksiyondur.
$(1)$ denkleminde $x=2$ yazılırsa $f(2)=5$ verildiğinden her $y$ tam sayısı için $f(y+5)-f(y+7)=2$ olur. Bu ifadeyi basitleştirmek için $y+5$ yerine $y$ yazalım. Her $y$ tam sayısı için
$$ f(y) - f(y+2) = 2 \tag{3}$$
denklemi elde edilir. $f(2)=5$ bilgisini $(3)$ denkleminde kullanılarak $f$ fonksiyonunun çift tam sayı noktalardaki görüntülerini hesaplayabiliriz. $f(4)=3$, $f(6)=1$, $ f( 8 ) =-1$, $f(10)=-3$, $f(12)=-5$ ... gibi. Çift sayı noktalar ile tüm tek sayı görüntüleri elde edebiliyoruz. Buna göre, $f$ bire bir fonksiyon olduğundan tek sayı noktalar ile de yalnızca çift sayı görüntüler elde edebilmeliyiz. Ayrıca $(3)$ denklemine göre, $f$ fonksiyonu çift tam sayılar kümesinde azalan bir fonksiyondur. Yine, $f$ fonksiyonu tek tam sayılar kümesinde de azalan bir fonksiyondur. Bu bilgi, $f$ fonksiyonunun tüm tam sayılar kümesinde azalan olduğunu göstermez.
Dolayısıyla $y$ herhangi bir çift tam sayı iken $f(y)=-y+7$ olduğunu kolayca gösterebiliriz. Buna eşdeğer olarak, $y$ herhangi bir tam sayı iken
$$ f(2y) = -2y +7 \tag{4}$$
denklemini de yazabiliriz. Fakat herhangi bir tek sayı noktada $f$ nin görüntüsünün hangi çift sayı olduğunu bilmiyoruz. Bu yüzden $c$ bir keyfi tam sayı olmak üzere $f(1)=2c$ diyelim. $(3)$ denklemine göre, her $y$ tam sayısı için
$$ f(2y+1) = -2y +2c \tag{5}$$
olur. Örneğin $f(1)=2c=10$ alınırsa $f(3)=8$, $f(5)=6$, $f(7)=4$, $f(9)=2$, $f(11)=0$, ... şeklinde değerler alır.
Şimdi $2x$, $2y$ iki çift tam sayı olsun. Bunları $(1)$ ana denkleminde yazarak $(5)$ denklemindeki $c$ nin gerçekten keyfi olarak seçilebileceğini görelim.
$f(f(2x) + 2y) - f(2y+7) = 2x$
$ \implies f(-2x+7 +2y) - f(2y+7) = 2x$
$ \implies (2x - 2y -6 +2c) - (-2y-6+2c) = 2x$
$\implies 2x = 2x $
olur. Yani $(1)$ ana denkleminin genel çözümü, çift tam sayılarda $(4)$ ve tek tam sayılarda $(5)$ yardımı ile tanımlanan $f$ parçalı fonksiyonudur.
