Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$a$ ve $n$ pozitif tam sayılar ve $p$ asal sayı olmak üzere$$2a^2+3a-44=3p^n$$denklemini sağlayan tüm $(a,n,p)$ üçlülerini bulunuz.

[YavuzSelim]

$(2a+11)(a-4)=3p^n$ buradan 2 durum oluşur.

$i)$ $2a+11=3p^x$, $a-4=p^y$ $(x+y=n, x,y \in \mathbb{N})$
$19=3p^x-2p^y$
Burada $x \neq 0, y\neq 0$ $\rightarrow$ $p=19$ olmalıdır. Buradan $n=2$ $a=23$ gelir.
$y=0$ ise $a=5$ $p=7$ $n=1$ gelir.

$ii)$ $2a+11=p^x$, $a-4=3p^y$
$19=p^x-6p^y$
Burada  $x \neq 0, y\neq 0$ $\rightarrow$ çözüm gelmez.
$y=0$ için $a=7$ $p=5$ $n=2$ gelir.

Yani tüm çözümler:$(23,2,19), (5,1,7), (7,2,5)$ bulunur.