Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2  (Okunma sayısı 3064 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 414
  • Karma: +8/-0
Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« : Ocak 07, 2020, 10:20:10 öö »
$x$, $y$, $z$ pozitif gerçel sayıları $xy+yz+zx=x^5+y^5+z^5$ eşitliğini sağlıyorsa $$x^2y+y^2z+z^2x\le3$$ olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Kasım 19, 2020, 06:35:29 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı berksel03

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 15
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« Yanıtla #1 : Nisan 18, 2020, 08:46:20 ös »
$A.O  \geq G.O$ eşitsizliğinden;
$x^5+y^5+1+1+1 \geq 5xy$
$y^5+z^5+1+1+1 \geq 5yz$
$z^5+x^5+1+1+1 \geq 5xz$
Eşitsizliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla:
$2(x^5+y^5+z^5) + 9 \geq 5(xy+xz+yz)$   $\Longrightarrow$ $ 3 \geq (xy+xz+yz)$  $(*)$
Yine $A.O \geq G.O$ eşitsizliğinden;
$x^5+x^5+y^5+1+1 \geq 5x^2y$
$y^5+y^5+z^5+1+1\geq 5y^2z$
$z^5+z^5+x^5+1+1\geq 5z^2x$
Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplayarak:
$3(x^5+y^5+z^5)+6 \geq 5(x^2y+y^2z+z^2x)$. Daha önce elde ettiğimiz $(*)$ eşitsizliğini de kullanarak;
$9+6 \geq 3(x^5+y^5+z^5) \geq 5(x^2y+y^2z+z^2x)$

$3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$. Eşitlik durumu $x=y=z=1$ için sağlanır.



Çevrimiçi Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« Yanıtla #2 : Kasım 12, 2023, 09:37:02 ös »
$$x^2y+y^2z+z^2x\leq \dfrac{3\left(x^5+y^5+z^5\right)}{xy+yz+zx}=3$$
olduğunu gösterirsek problem çözülmüş olur

$$\rightarrow \left(x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2\right)+\left(xy^3z+yz^3x+zx^3y\right)+\left(x^2yz^2+y^2zx^2+z^2xy^2\right)\leq 3\left(x^5+y^5+z^5\right)$$

ki bu ifade $(5,0,0)\prec (3,2,0),(3,1,1),(2,2,1)$ olduğundan doğrudur.
(Benim yaptığım bir çözüm fakat benzerlerinin AoPS forumunda mevcut olduğunu şimdi gördüm.)
« Son Düzenleme: Kasım 12, 2023, 09:42:32 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimiçi Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« Yanıtla #3 : Kasım 12, 2023, 09:50:59 ös »
Genelleştirme 1
$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları $x^{p}y^{r}+y^pz^r+z^px^r=x^{k}+y^k+z^k$ eşitliğini sağlıyorsa


$$x^{\alpha}y^{k-p-r-\alpha}+y^{\alpha}z^{k-p-r-\alpha}+z^{\alpha}x^{k-p-r-\alpha}\leq 3$$


olduğunu gösteriniz.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimiçi Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« Yanıtla #4 : Kasım 12, 2023, 09:53:39 ös »
Genelleştirme 2
$x_{1},x_{2},x_{3}$ pozitif gerçel sayıları $\sum_{cyc}{x_{1}^{p}x_{2}^{r}}=x_{1}^{k}+x_{2}^k+x_{3}^k$ eşitliğini sağlıyorsa


$$\sum_{cyc}{x_{1}^{\alpha}x_{2}^{k-p-r-\alpha}}\leq n$$


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Kasım 12, 2023, 10:43:24 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimiçi Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« Yanıtla #5 : Kasım 12, 2023, 09:55:18 ös »
Son genelleştirmede ikili çarpım yerine üçlü,dörtlü ya da doğru koşullar altında istenen kadar değişken çarpımı oluşturabilir ve bunun sonucunda da $p+r$ kuvvet toplamı dağıtılabilir.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimiçi Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« Yanıtla #6 : Kasım 12, 2023, 10:21:48 ös »
Genelleştirme 3
$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\in \mathbf{R^+}$ ve $p_{1},p_{2},\cdots,p_{n},r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}$ negatif olmayan reel sayılar olmak üzere
$$\sum_{cyc}{x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}}=\sum_{cyc}{x_{1}^{k}}$$
$$k=\sum_{cyc}{r_{1}}+\sum_{cyc}{p_{1}}$$
eşitlikleri sağlanıyorsa


$$\sum_{cyc}{x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}}\leq n$$

olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Kasım 12, 2023, 10:29:54 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimiçi Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« Yanıtla #7 : Kasım 13, 2023, 02:56:24 ös »
$$\sum_{cyc}{p_{1}}=2,\sum_{cyc}{r_{1}}=3,k=5,n=3$$
değerleri verildiğinde problem Ortaokul 2.Aşama 2019 #2'ye dönüşür.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal