Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 3

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninde $AB<AC$'dir. $BC$ kenarının orta dikmesi $AB$ ve $AC$'yi sırasıyla $P$ ve $Q$'da kessin. $H$, $ABC$'nin diklik merkezi, $M$ ve $N$ sırasıyla $BC$ ve $PQ$'nun orta noktası olmak üzere, $HM$ ve $AN$ doğrularının $ABC$'nin çevrel çemberi üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

[geo]

Çok bilinen $AH=2 \cdot OM$ eşitliğini kullanacağız.
İspat: $BO$, $(ABC)$ çemberini $B_1$ de kessin. $OM = 2\cdot B_1C$. Çapı gören çevre açıdan $\angle B_1AB = \angle BCB_1 = 90^\circ$, dolayısıyla  $AB_1 \parallel CH$ ve $AB_1CH$ bir paralelkenar. Buradan da $AH = B_1C = 2\cdot OM$.

Soruya dönersek;
$AN \cap HM = \{R\}$ ve $BH \cap AC = \{S\}$ olsun.
$\angle HBC = \angle MQC = \angle AQP$ ve $\angle HCB = \angle BAH = \angle APQ$ olduğu için $\triangle APQ \sim \triangle HCB$. Benzer üçgenlerde kenarortayların kenarla yaptıkları açılar da eşit olacağından $\angle NAQ = \angle MHB = \angle RHS$. Bu da $ARHQ$ yu kirişler dörtgeni yapar. $\angle QSH = \angle ARH = 90^\circ$ olacaktır. $[AR]$ nin orta dikmesi $AH$ nin orta noktasından dolayısıyla $O$ dan geçecektir. Buradan da $AO=OR$ olacağı için $R$, $(O, |OA|)$ çemberi üzerindedir.