Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 5

[Lokman Gökçe]

$n_1,n_2, \dots , n_{1998}$ pozitif tam sayıları $n_1^2 + n_2^2 + \dots + n_{1997}^2 = n_{1998}^2 $ eşitliğini sağlıyor. Bu sayılardan en az ikisinin çift olduğunu gösteriniz.

[Squidward]

$n_{1998}$ çift ise $n_1,n_2,\dots,n_{1997}$'den en az birinin çift olduğu açıktır. $1998$ tane sayıdan en az ikisi çift olur.

$n_{1998}$ tek ise, $m \in \mathbb{Z}$ için $(2m+1)^2 \equiv 1 \pmod 8$'dir yani $n_{1998}^2 \equiv 1 \pmod 8$'dir ancak $n_1,n_2,\dots,n_{1997}$'in her biri tek ise $n_1^2 + n_2^2 + \dots + n_{1997}^2 \equiv 5 \pmod 8$'dir, çelişki. Sol taraftakilerin yalnız biri çift olduğunda ise sağ taraf tek iken sol taraf çift olacaktır, çelişki. Sonuç olarak, her durumda bu sayılardan en az ikisi çifttir.