Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$R$ çevrel çember yarıçapına ve $a$, $b$, $c$ kenar uzunluklarına sahip bir üçgende $R(b+c)=a\sqrt{bc}$ dir. Üçgenin açılarını bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Sinüs teoreminden $a=2R\sin A$ yazılırsa denklem $R(b+c)=2R\sqrt{bc} \sin A $ olup $$b+c = 2\sqrt{bc} \sin A \tag{1} $$ elde edilir. Öte taraftan aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden $\dfrac{b+c}{2}\geq \sqrt{bc}$ olup $(1)$ denkleminde yazılırsa $$ \sin A \geq 1 \tag{2} $$ elde edilir. Fakat genel halde $\sin A \leq 1 $ olduğundan $(2)$ eşitsizliği yalnızca $m(\widehat{A})=90^\circ $ iken sağlanır. Ayrıca, aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinde de eşitlik durumu sağlanmalıdır. Yani $b=c$ olmalı. $m(\widehat{B})=m(\widehat{C}) = 45^\circ $ elde edilir $\blacksquare $