Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2009 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

$O$ merkezli bir çembere dışındaki bir $A$ noktasından çizilen teğetler çembere $B$ ve $C$ noktalarında değiyor. $[BD]$ doğru parçası çemberin bir çapı olmak üzere, $CD$ doğrusu, $AB$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $AD$ ve $OE$ doğrularının kesişme noktası $F$ ise, $|AF|/|FD|$ oranını bulunuz.

[baris09]

$\angle BOC=2\alpha$ olsun. Bu durumda $\angle BOA=\alpha$ olur.

Aynı zamanda $\angle BDC$ çevre açı olduğundan $\angle BDC=\alpha$ olur.Buradan da $OA \parallel DE$ olduğu görülür. Bu paralellikten dolayı $BED$ üçgeninde $[OA]$ orta taban ve $[DA]$ kenarortay olur. $[EO]$ da kenarortay olduğundan dolayı $F$ noktası $BED$ üçgensel bölgesinin ağırlık merkezidir. Dolayısıyla,
\[
\frac{AF}{FD}=\frac{1}{2}
\]
olur.