Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 3

[MATSEVER 27]

$$N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2$$
olmak üzere $N$ sayısının $2016$ sayısının negatif olmayan bir tam kuvveti olmasını sağlayan tüm $(a,b,c)$ tamsayı üçlülerini belirleyiniz.

[ArtOfMathSolving]

(Official Çözüm)

$a,b,c$ tamsayı ve $n$ pozitif tamsayı olmak üzere, $$(a-b)(b-c)(c-a)+4=2.2016^n.$$ Şimdi de $a-b=-x$, $b-c=-y$ oalrak yazalım.

Denklem $xy(x+y)+4=2.2016^n$ biçmine dönüştü, $n>0$ olduğu takdirde, Denklemin sağ tarafı $7$ ye bölünecek, yani $\pmod7$ de inceleyebiliriz,$$xy(x+y)+4 \equiv 0 \pmod7 \Rightarrow 3xy(x+y)\equiv 2\pmod7 \Rightarrow (x+y)^3-x^3-y^3\equiv 2 \pmod7 $$

$a^3\equiv -1,0,1 \pmod7$ olduğu için, $(x+y)^3,x^3$ ve $y^3$ ifadeleri $7$ ile bölünebilmeli ancak $xy(x+y)\equiv 3\pmod7$ olduğundan çelişki!

O halde incelememiz gereken durum $n=0$ yani, $xy(x+y)+4=2 \Rightarrow xy(x+y)=-2$ Buradan $(x,y)=\in\{(-1,1),(2,-1),(-1,2)\}$ çözümleri bulunur yani $(a,b,c)\in\{k,k+1,k+2\}$ ve permütasyonları.