asal sayıların sayısı

[Lokman Gökçe]

Aşağıdaki soruda doğru cevap seçenekler arasında bulunmadığı için hatalıdır. Sorumuz şu:

Yazar ne tür bir mantıksal hata yapmıştır ki bu soru ortaya çıkmıştır? (Mantıklı bir cevabı var)

[t-temiz]

$10!+a$ sayısı eğer $a$ , $1$'den büyük $10$'dan küçük veya $10$'a eşitse kesinlikle asal değildir. $a=11$ ise sayımız asal olabilir ama kesinlik yok. $a$ çiftken sayımız asal olamaz. Öyleyse $11,13,17,19,23$ için ortak paranteze alma mantığını kullanamayız ama bu asal oldukları anlamına gelmez. Başka yöntemlerle kontrol edilmelidir. Yazar bu $5$ sayı için $10!+a$'yı asal kabul ettiyse , bir mantık hatası var. Burada ilk kısımlarda olabilir derken olasılıktan ziyade ortak paranteze alma yöntemiyle bulunamayacağını belirtmeye çalıştım. Yoksa elbette bir sayı ya asaldır ya da değildir. 
Hocam soruyu hazırlayan ne olarak belirtmiş cevabı ?

[Lokman Gökçe]

Öncelikle yaklaşımınız için tebrik ediyorum. cevap anahtarını görmedim. Doğru cevap olarak 5 verilmiştir. Yazar(lar), açıkladığınız hataya düşmüştür. Şu teoremi ispatlamak kolaydır:

Teorem:  $n>2$ bir pozitif sayı ise $n! +1 < p  \leq n! + n$ aralığında $p$ asal sayısı yoktur.

Bu teoremin soruya dönüştürülerek Türk eğitim sistemine ilk giriş tarihi 1993 yılıdır sanıyorum. Tübitak'ın düzenlediği Birinci Ulusal Matematik Olimpiyatı'nda aşağıdaki soruya yer verilmiştir. (Bu kalıpta bir soruya yer veren daha eski bir Türkçe kaynak olup olmadığını bilmiyorum). Yukarıdaki hatalı sorunun esin kaynağı 1993 UMO sorusu olabilir. Buyrun ...

NOT: http://akilfikirmektebi.com/izle linkine tıklayıp test koduna 10601 yazın. soru numarasını 15 olarak seçerseniz hatalı sorunun hatalı çözümü geliyor.

[Lokman Gökçe]

Şimdi de sorunun doğru çözümünü verelim:

Yanıt: $2$, yani $ \boxed {F}$ seçeneğidir

$10! + 11$ asaldır. Fakat bunun asal olup olmadığını anlamak kalem kağıt hesabıyla zor bir problemdir. Wolfram'da kontrol ettim ve $10! + 11 = 3628811$ olup asal sayıdır.

Ancak $10! +13 = 3628813$ asal sayı değildir. Çünkü $84381$ asal sayısı ile tam bölünüyor.

Ayrıca $10! + 17 = 3628817$ sayısı da asal değildir. Bu sayı da $1759$ ve $2063$ asalları ile bölünüyor.

$10! + 19 = 3628819$ asal sayıdır. Bunun asallığını kontrol etmek de zor bir problemdir.

$10! + 23 = 3628823$ sayısı $7019$, $11$ ve $47$ asallarına bölündüğünden, asal sayı değildir. Ayrıca $10! + 23$ sayısının $11$ ile bölünebildiğini göstermenin bir yolu da Wilson teoremidir. $10! \equiv -1 \pmod{11}$ olduğundan $10! + 23 \equiv 22 \equiv 0 \pmod{11}$ dir. Yani bu sayı $11$ ile tam bölünür.

Sonuç olarak verilen aralıkta tam olarak $2$ tane asal vardır.

[t-temiz]

Ayrıntılı bilgilendirdiğiniz için sağ olun. Anlaşılan eski olimpiyat soruları artık lise sorusu olmaya aday  Bence adaylar özellikle 2014 ve 2015 sınavlarını gördükten sonra ilk olimpiyatlara da biraz göz atmalılar .