Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 3

[Eray]

$ABC$ dar açılı bir üçgen olsun.  $l_1$ ve $l_2$ doğruları $AB$ kenarına sırasıyla $A$ ve $B$ de diktir. $AB$ nin orta noktası olan $M$ noktasından $AC$ ve $BC$ ye çizilen dikmeler $l_1$ ve $l_2$ yi sırasıyla $E$ ve $F$ de kesiyor. $D$ noktası, $EF$ ve $MC$ doğrularının kesim noktasıysa, $\angle ADB = \angle EMF$ olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

İddia: $EF \perp MC$  dir.

İspat: $ME \ \cap \ AC={H}$  ve  $MF \ \cap \ BC={G}$  olsun.  $AME$  ve  $BMF$  dik üçgenlerinde Öklid uygulayalım.

$\Longrightarrow MB^2=MG \cdot MF$   ve   $MA^2=MH \cdot ME$

$M$  orta noktaydı yani $MA=MB$  dir.

$\Longrightarrow  MG \cdot MF=MH \cdot ME \ \ \Rightarrow E \ , \ F \ , \ G \ , \ H$  çemberseldir.

$EF \ \cap \ AC=K$  ve  $EF \ \cap \ BC=L$  olsun.  $\angle HEK=\alpha$  olsun.   $E \ , \ F \ , \ G \ , \ H$  çembersel olduğu için  $\angle HGM=\alpha$  olur.  $G \ , \ M \ , \ H \ , \ C$  nin çembersel olduğunu biliyoruz. O zaman  $\angle MCH=\alpha$  olur.

$\Longrightarrow  D \ , \ C \ , \ E \ , \ H$  çemberseldir.

$\Longrightarrow  \angle EDC=90^\circ$    İddiayı ispatladık.

$EF \perp MC$  olduğu için  $A,M,D,E$  ve  $B,M,D,F$  çemberseldir.  $\angle MED=\alpha$  olduğu için  $\angle MAD=\alpha$  olur.  $\angle MFD=\beta$  dersek  $\angle MBD=\beta$  olur.  Dolayısıyla  $\angle ADB= \angle EMF =180-\alpha-\beta$  dır.  İspat biter.