(Mehmet Utku Özbek)
Eşitliğe $\pmod {9}$ da bakalım. Asal sayılar $3$ hariç $3m+1$ veya $3m+2$ formunda olduğu için kareleri $9m^2+6m+1$ veya $9m^2+12m+4$ formundadır ve $m$ yerine $3n \ , \ 3n+1 \ , \ 3n+2$ yazarsak asal sayıların karelerinin
$\pmod 9$ da $1,4,7$ kalanlarını verdiğini buluruz. Şimdi $a,b,c$ sayılarının hiçbirinin $3$ olmadığını kabul edelim.
$\Longrightarrow a^2+b^2-2c^2 \equiv 1 \pmod 9$ olur. $a,b,c \equiv 1,4,7 \pmod 9$ olduğunu biliyoruz. O zaman $a^2+b^2-2c^2 \equiv 0,3,6 \pmod 9$ olur. Çelişki !
O zaman asal sayılardan en az biri $3$ olmak zorundadır. $a$ veya $b$ den biri $3$ olsun.
$\Longrightarrow b^2+16c^2+8=9k^2$
Eşitliğe $\pmod 3$ te bakarsak $b^2+c^2 \equiv 1 \pmod 3$ olur. Ki bu da $b$ veya $c$ den birinin $3$ olduğunu gösterir. $b=3$ olsun.
$\Longrightarrow 17=9k^2-16c^2=\underbrace{(3k-4c)}_{1}\underbrace{(3k+4c)}_{17} \ \Rightarrow 6k=18 \ \Rightarrow k=3 \ , \ c=2$ Buradan tek çözüm $(a,b,c,k)=(3,3,2,3)$ gelir.
$b$ veya $c$ den birinin $3$ olduğunu söylemiştik. Ve $b$ nin olduğu durumu inceledik. Şimdi $c=3$ olsun.
$\Longrightarrow 152=9k^2-b^2=\underbrace{(3k-b)}_{1,2,4,8}\underbrace{(3k+b)}_{152,76,38,19}$ Buradan $6k=153,78,42,27$ bulunur. $k$ pozitif tam sayı olduğu için $k=13$ ve $k=7$ olabilir. Bu durumda $b=37$ ve $b=17$ olabilir.
Buradan çözümler $(a,b,c,k)=(3,37,3,13),(37,3,3,13),(3,17,3,7),(17,3,3,7)$ bulunur.
En başta $a$ veya $b$ den biri $3$ olsun demiştik. Ve o durumu inceledik. Şimdi $c$ nin $3$ olduğu ve $a$ ve $b$ nin de $3$ olmadığı duruma bakalım.
$\Longrightarrow a^2+b^2+143=9k^2$
Yine $\pmod 3$ te bakarsak $a^2+b^2 \equiv 1 \pmod 3$ bulunur. O zaman $a$ veya $b$ den birinin $3$ olması lazım. Ama $a$ ve $b$ için $3$ ten farklı demiştik. Çelişki !
O zaman bu durumdan çözüm gelmiyor. Bütün durumları inceledik ve çözümleri bulduk.
