Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 1

[geo]

$\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ ve $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ sayılarının pozitif tam sayı olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$\dfrac{a^3b-1}{a+1}=\dfrac{a^3b+a^2b-a^2b-ab+ab+b-b-1}{a+1}=\dfrac{a^2b(a+1)-ab(a+1)+b(a+1)-b-1}{a+1} \ \ \ \ \ \Longrightarrow  a+1 \ | \ b+1$

$\dfrac{b^3a+1}{b-1}=\dfrac{b^3a-b^2a+b^2a-ba+ab-a+a+1}{b-1}=\dfrac{b^2a(b-1)+ba(b-1)+a(b-1)+a+1}{b-1} \ \ \ \ \ \Longrightarrow  b-1 \ | \ a+1$

$\Longrightarrow  b-1 \ | \ b+1  \ \ \ \ \Longrightarrow b-1 \ | \ 2$

$\Longrightarrow  b=3, \ \ b=2$

$\Longrightarrow$  Çözümler $\ (a,b)=(1,3) \ , \ (3,3) \ , \ (2,2)$

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: Sırasıyla iki küp toplamı ve iki küp farkı özdeşliklerinden faydalanarak

$\dfrac{a^3b-1}{a+1}=\dfrac{a^3b+b}{a+1}-\dfrac{b+1}{a+1} \ \ \ \ \ \Longrightarrow  a+1 \ | \ b+1$

$\dfrac{b^3a+1}{b-1}=\dfrac{b^3a-a}{b-1}+\dfrac{a+1}{b-1} \ \ \ \ \ \Longrightarrow  b-1 \ | \ a+1$

$\Longrightarrow  b-1 \ | \ b+1  \ \ \ \ \Longrightarrow b-1 \ | \ 2$

$\Longrightarrow  b=3, \ \ b=2$

$\Longrightarrow \ (a,b)=(1,3) \ , \ (3,3) \ , \ (2,2)$ çözümleri bulunur.