Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 26

[alpercay]

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n^3+2$ ve $(n+1)^3+2$ sayılarının her ikisini de bölen asal sayıların sayısı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$x,y$ tam sayılar olmak üzere; $p \mid a \land p \mid b \Rightarrow p \mid ax+ by$.
$$p \mid n^3 + 2 \land p \mid n^3+3n^2+3n + 3 \Rightarrow p \mid (n^3+3n^2+3n+3) - (n^3+2) = 3n^2 + 3n +1 \tag{1}$$ $$p \mid n(3n^2+3n+1) - 3(n^3+2) = 3n^2 + n - 6 \tag {2}$$ $$p \mid (3n^2 + 3n +1) - (3n^2+n-6) = 2n+7 \tag{3} $$ $$p \mid 3n(2n+7)-2(3n^2+3n+1) = 15n-2 \tag{4}$$ $$p \mid 15(2n+7) - 2(15n-2) = 109\tag{5}$$
$109$ asal olduğu için $p \mid 109$ şeklinde tek bir asal sayı vardır. O da $p=109$.

[Lokman Gökçe]

$p=109$ olmasını sağlayan $n$ değeri de bulunursa daha doğru olur. Örneğin, $2n+7 = 109$ eşitliğinden $n=51$ gelir. $n=51$ için $p=109$ olduğu gösterilebilir.