Yanıt: $\boxed{D}$
Minkowski Eşitsizliği'ni kullanacağız. Çözümün anlaşılabilirliği için eşitsizlikten bahsedelim. $a_{ij}$ pozitif reeller, $r>s$ ise sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere
$$\left(\sum_{j=1}^{m}{\left(\sum_{i=1}^{n}{a^{r}_{ij}}\right)^{s/r}}\right)^{1/s}\geq \left(\sum_{i=1}^{n}{\left(\sum_{j=1}^{m}{a_{ij}^{s}}\right)^{r/s}}\right)^{1/r}$$
olduğunu belirtir. Bu çözümde kullanacağımız hali ise $s=1$, $r=2$, $m=2$ ve $n=2$ yani
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geq \sqrt{\left(a_1+b_1\right)^2+\left(a_2+b_2\right)^2}$$
Buna göre sorudaki ifade şöyle yazılabilir
$$\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{2}-1)^2}+\sqrt{(4-x)^2+(3-\sqrt{2})^2}$$
$$\overbrace{\geq}^{Minkowski} \sqrt{(x-2+4-x)^2+(\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$$
elde edilir. Eşitlik durumu $x=\sqrt{2}+1$ için sağlanır.