Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 19  (Okunma sayısı 3774 defa)

Çevrimiçi alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 996
  • Karma: +14/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 19
« : Ağustos 21, 2013, 04:20:57 ös »
$x$ bir gerçel sayı olmak üzere $$\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ 1+\sqrt{2}
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Ağustos 25, 2013, 03:59:14 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.662
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 19
« Yanıtla #1 : Eylül 28, 2013, 01:28:10 ös »
Yanıt: $\boxed{D}$

$x^2 - 4x + 7 - 2\sqrt 2 = x^2 - 4x + 4 + 3 - 2\sqrt 2  = (x-2)^2 + (\sqrt 2 -1 )^2$
$x^2 - 8x + 27 - 6\sqrt 2 = x^2 - 8x + 16 + 11 - 6\sqrt 2  = (x-4)^2 + (3 - \sqrt 2 )^2$ olduğu için

$\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}} = \sqrt {(x-2)^2 + (\sqrt 2 - 1)^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (3-\sqrt 2) ^2}$

Aslında bu klasik bir geometri problemi.
Koordinat düzleminde $P(2,\sqrt 2 -1)$ ve $Q(4, 3-\sqrt 2)$ noktaları alınıyor. $x$-ekseni üzerinde $|PX| + |QX|$ toplamını en küçük yapan $X(x,0)$ noktasını bulunuz.
Nasıl çözüyoruz?
$P$ nin $x$-eksenine göre simetriği $P'(2, 1 - \sqrt 2)$ olsun. $P'X=PX$ olduğu için $PX+QX$ i minimum yapan $X$ noktası $P'X + QX$ i de minimum yapacak. $P'X + QX$ ifadesi $P', X,Q$ doğrusal olduğunda minimum olur. O halde $\min(PX+QX) = P'Q = \sqrt {(4-2)^2 + (3 - \sqrt 2 - (1- \sqrt 2))^2 } = \sqrt 8 = 2\sqrt 2$.
« Son Düzenleme: Mayıs 18, 2014, 11:03:50 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 826
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 19
« Yanıtla #2 : Ekim 07, 2024, 11:24:59 ös »
Yanıt: $\boxed{D}$

Minkowski Eşitsizliği'ni kullanacağız. Çözümün anlaşılabilirliği için eşitsizlikten bahsedelim. $a_{ij}$ pozitif reeller, $r>s$ ise sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere
$$\left(\sum_{j=1}^{m}{\left(\sum_{i=1}^{n}{a^{r}_{ij}}\right)^{s/r}}\right)^{1/s}\geq \left(\sum_{i=1}^{n}{\left(\sum_{j=1}^{m}{a_{ij}^{s}}\right)^{r/s}}\right)^{1/r}$$
olduğunu belirtir. Bu çözümde kullanacağımız hali ise $s=1$, $r=2$, $m=2$  ve $n=2$  yani
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geq \sqrt{\left(a_1+b_1\right)^2+\left(a_2+b_2\right)^2}$$
Buna göre sorudaki ifade şöyle yazılabilir
$$\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{2}-1)^2}+\sqrt{(4-x)^2+(3-\sqrt{2})^2}$$
$$\overbrace{\geq}^{Minkowski} \sqrt{(x-2+4-x)^2+(\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$$
elde edilir. Eşitlik durumu  $x=\sqrt{2}+1$  için sağlanır.

« Son Düzenleme: Ocak 25, 2025, 06:25:56 ös Gönderen: geo »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal